Joc bayesiano

En teoria de jocs, un joc bayesiano és un en el qual l'informació sobre les característiques dels atres jugadors és incompleta. A raïl de les idees de John Harsanyi, un joc bayesiano pot ser modelat per mig de l'introducció de la naturalea com un jugador en un joc. La naturalea assigna una variable aleatòria a cada jugador que podria prendre valors de tipos per a cada jugador i les provabilitats d'associació o una funció de densitat de provabilitat en eixos tipos, en el transcurs de la partida, la naturalea elegix aleatoriamente un tipo per a cada jugador d'acort en la distribució de provabilitat a través cada de l'espai de característiques de jugador. Harsanyi propon un enfocament per a modelar un joc bayesiano de tal manera permet que els jocs d'informació incompleta es convertixquen en jocs d'informació imperfecta, en el que l'història del joc no està disponible per a tots els jugadors. En un joc bayesiano, el caràcter incomplet de l'informació significa que a lo manco un jugador no està segur del tipo de l'atre jugador.

Tals jocs es denominen bayesianos per l'anàlisis provabilístic inherent en el joc. Els jugadors tenen creències inicials sobre el tipo de cada jugador (una creència és una distribució de provabilitat sobre els tipos possibles d'un jugador) i es poden actualisar les seues creències d'acort en la regla de Bayes conforme es porta a terme el joc, és dir, la creència de que un jugador té sobre el tipo d'un atre jugador podria canviar en funció de les accions que han jugat. La falta d'informació en mans dels jugadors i la modelació de les creències significa que este tipo de jocs també s'utilisen per a analisar escenaris d'informació imperfecta.

Especificació de jocs

La representació de la forma normal d'un joc no bayesiano en informació perfecta és una especificació dels espais d'estratègies i funcions de guanys dels jugadors. Una estratègia per a un jugador és un pla d'acció complet que cobrixca totes les contingències del joc, inclús si eixa contingència no pot sorgir. L'espai d'estratègies d'un jugador és per lo tant el conjunt de totes les estratègies disponibles per a un jugador. Una funció d'utilitat és una funció del conjunt de perfils d'estratègies per al conjunt de pagaments (normalment el conjunt de número real), a on un perfil d'estratègia és un vector que especifica una estratègia per a cada jugador.

En un joc bayesiano, és necessari especificar els espais d'estratègies, espais de tipos, funcions de pagament i les creències de cada jugador. Una estratègia per a un jugador és un pla d'acció complet que cobrixca totes les contingències que puguen sorgir per a cada tipo de jugador que podria ser. Una estratègia no només deu especificar les accions del jugador donat el tipo que és, sino que deu especificar les accions que prendria si fòra d'un atre tipo. Els espais d'estratègies es definixen com anteriorment. Un espai de tipos per a un jugador és precisament el conjunt de tots els tipos possibles d'eixe jugador. Les creències d'un jugador de descriure l'incertitut de que el jugador sobre els tipos dels atres jugadors. Cada creència és la provabilitat de que els atres jugadors que tenen tipos particulars, tenint en conte el tipo de jugador en eixa creència (és dir, la creència és $p(\text{tipos de los otros jugadores}|\text{tipo del jugador})$). Una funció d'utilitat és una funció 2-lloc de perfils d'estratègies i tipos. Si un jugador té una funció de pagament $U(x,y)$ i ell té tipo t, la recompensa que rep és $U(x^{*},t)$, a on $x^{*}$ és el perfil d'estratègia jugat en el joc (és dir, el vector d'estratègies jugades).

El joc es definix com: $G=⟨N,\Omega ,⟨A_i,u_i,T_i,{\tau }_i,p_i,C_i{⟩}_{i\in N}⟩$, a on

1. $N$ és el conjunt de jugadors.

2. $\Omega$ és el conjunt dels estats de la naturalea. Per eixemple, en un joc de cartes, que pot sercualquier orde de les cartes.

3. $A_i$ és el conjunt d'accions per al jugador i. Siga $A=A_1\times A_2\times \cdots \times A_N$.

4. $T_i$ és el tipo de jugador i, decidit per la funció ${\tau }_i:\Omega \to T_i$. SAsí que per a cada estat de la naturalea, el joc té diferents tipos de jugadors. El resultat dels jugadors és lo que determina el seu tipo. Els jugadors en el mateix resultat pertanyen a la mateixa classe.

5. $C_i\subseteq A_i\times T_i$ definix les accions disponibles per al jugador i d'algun tipo $T_i$.

6. $u_i:\Omega \times A\to R$ és la funció d'utilitat del jugador i. Més formalment, siga $L=\{(\omega ,a_1,\dots ,a_N)\mid \omega \in \Omega ,\mathrm{\forall }i,(a_i,{\tau }_i(\omega ))\in C_i\}$, and $u_i:L\to R$.

7. $p_i$ és la distribució de provabilitat sobre $\Omega$ per a cada jugador i, és dir, cada jugador té punts de vista diferents de la distribució de provabilitat sobre els estats de la naturalea. En el joc, mai saben en exactitut l'estat de la naturalea.