Forma normal d'un joc

En teoria de jocs, la forma normal és una forma de descriure un joc. A diferència de la forma extensiva, les representacions en forma normal no són grafos, sino matrius. Açò pot ser de gran utilitat a l'hora d'identificar estratègies estrictament dominants i equilibris de Nash. Per una atra part es pert una miqueta d'informació si la comparem en la forma extensiva, puix esta inclou totes les estratègies de cada jugador junt en els seus recompenses.

En jocs estàtics d'informació completa i perfecta, una forma normal de representació d'un joc és una especificació dels espais d'estratègia dels jugadors i les funcions de recompensa. Un espai d'estratègia d'un jugador és el conjunt d'estratègies disponibles per a eixe jugador, mentres que una estratègia és un pla complet d'acció per a cada situació del joc, sense tindre en conte si eixa situació es dona realment en el joc. Una funció de recompensa d'un jugador és una correspondència entre el producte creuat dels espais d'estratègia dels jugadors i el conjunt de recompenses del jugador (normalment, el conjunt dels número real, a on el número representa una utilitat ordinal o cardinal - a sovint cardinal) d'un jugador, per eixemple la funció de recompensa d'un jugador pren com a entrada un perfil d'estratègia (és dir, l'especificació de les estratègies de cada jugador) i dona lloc a una representació de la recompensa a la seua eixida.

Eixemple

Un joc en forma normal

	Jugador 2 elegix esquerra	Jugador 2 elegix dreta
Jugador 1 elegix dalt	4, 3	-1, -1
Jugador 1 elegix avall	0, 0	3, 4

La matriu de la dreta és una representació en forma normal d'un joc en el que els jugadors mouen simultàneament (o, a lo manco, no coneixen el moviment de l'atre jugador) i reben les recompenses tal i com s'especifica per a la combinació jugada. Per eixemple, si el jugador 1 elegix dalt i el jugador 2 elegix esquerra, el jugador 1 rep 4 i el jugador 2 rep 3. En cada cela, el primer número representa la recompensa del jugador de les files (en este cas el jugador 1), i el segon número representa la recompensa del jugador de les columnes (en este cas el jugador 2).

Atres representacions

A sovint, els jocs simètrics (a on les recompenses no depenen de quin jugador realise cada acció) es representen per una sola recompensa. Esta és la recompensa del jugador de les files. Per eixemple, les matrius de recompensa de la dreta i l'esquerra representen el mateix joc.

Abdós jugadors Cérvol Llebre Cérvol 3, 3 0, 2 Llebre 2, 0 2, 2

Només files Cérvol Llebre Cérvol 3 0 Llebre 2 2

Usos de la forma normal

Estratègies dominades

El dilema del presoner

	Cooperar	Traïcionar
Cooperar	2, 2	0, 3
Traïcionar	3, 0	1, 1

La matriu de recompenses facilita l'eliminació d'estratègies dominades, i s'usa habitualment per a ilustrar este concepte. Per eixemple, en el dilema del presoner (a la dreta), es pot determinar que Cooperar està estrictament dominat per Traïcionar. Es deuen comparar els primers números de cada columna, en este cas 3>2 i 1>0. Açò mostra que no importa lo que faça el jugador de les columnes, el jugador de les files farà millor triant Traïcionar. Similarmente, es compara la segona recompensa de cada fila; una atra volta 3>2 i 1>0. Açò mostra que no importa lo que faça el jugador de les columnes, el de les files farà millor triant Traïcionar. Açò demostra que l'únic equilibri de Nash d'este joc és (Traïcionar, Traïcionar).

Jocs seqüencials en forma normal

Un joc seqüencial

	Esquerra, Esquerra	Esquerra, Dreta	Dreta, Esquerra	Dreta, Dreta
Dalt	4, 3	4, 3	-1, -1	-1, -1
Avall	0, 0	3, 4	0, 0	3, 4

Estes matrius només representen jocs en el que els moviments són simultàneus (o, de forma més general, l'informació és imperfecta). La matriu de dalt no representa el joc en el que el jugador 1 mou primer, és observat pel jugador 2 i llavors 2 mou perque no especifica totes les estratègies de 2 en este cas. Per a representar este joc seqüencial devem especificar totes les accions del jugador 2, inclús en estratègies de situacions que mai poden donar-se en el curs del joc. En este joc, el jugador 2 té dos accions possibles, com abans, Esquerra i Dreta. Al contrari que abans, té quatre estratègies, dependents de les accions del jugador 1. Estes estratègies són:

1. Esquerra si 1 elegix Dalt i Esquerra si no ho fa.
2. Esquerra si 1 elegix Dalt i Dreta si no ho fa.
3. Dreta si 1 elegix Dalt i Esquerra si no ho fa.
4. Dreta si 1 elegix Dalt i Dreta si no ho fa.

A la dreta està la representació en forma normal d'este joc.

Referències

• R. D. Lluïx i H. Raiffa, Games and Decisions, Dover Publications, 1989.

• J. Weibull, Evolutionary Game Theory, MIT Press, 1996

• J. von Neumann i O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, John Wiley Science Editions, 1964. Publicat inicialment per Princeton University Press en 1948.