Interior algebraic

En anàlisis funcional, una branca de les matemàtiques, el interior algebraic o núcleu radial d'un subconjunt d'un espai vectorial és un refinament del concepte d'interior.

Definició

Suponga's que $A$ és un subconjunt d'un espai vectorial $X.$ El interior algebraic (o núcleu radial) de $A$ sobre $X$ és el conjunt de tots els punts en els que $A$ és un conjunt radial. Un punt $a_0\in A$ es diu de $A$ i es diu que $A$ és si per cada $x\in X$ existix un número real $t_x>0$ tal que per cada $t\in [0,t_x],$ $a_0+tx\in A.$ Esta última condició també es pot escriure com $a_0+[0,t_x]x\subseteq A$ a on el conjunt

$a_0+[0,t_x]x:=\{a_0+tx:t\in [0,t_x]\}$

és el segment rectilíneo (o interval tancat) que comença en $a_0$ i termina en $a_0+t_{x}x$. Este segment és un subconjunt de $a_0+[0,\mathrm{\infty })x,$, que és el que emana de $a_0$ en la direcció de $x$ (és dir, paralel a/una translació de $[0,\mathrm{\infty })x$).

Per lo tant, geomètricament, un punt interior d'un subconjunt $A$ és un punt $a_0\in A$ en la propietat de que en cada direcció (vector) possible $x\ne 0,$ $A$ conté algun segment rectilíneo (no degenerado) que comença en $a_0$ i es dirigix en eixa direcció (és dir, un subconjunt del raig $a_0+[0,\mathrm{\infty })x$).

L'interior algebraic de $A$ (sobre $X$) és el conjunt de tots eixos punts. És dir, és el subconjunt de punts continguts en un conjunt dau respecte del com els punts del conjunt són radials.

Si $M$ és un subespacio llineal de $X$ i $A\subseteq X$, llavors esta definició es pot generalisar al interior algebraic de $A$ sobre $M$ és:

${\mathrm{aint}}_{M}A:=\{a\in X:\text{ para todo }m\in M,\text{ existe algún }{t}_m>0\text{ tal que }a+[0,t_m]\cdot m\subseteq A\}.$

a on ${\mathrm{aint}}_{M}A\subseteq A$ sempre es complix i si ${\mathrm{aint}}_{M}A\ne \varnothing$, llavors $M\subseteq \mathrm{aff}(A-A),$ a on $\mathrm{aff}(A-A)$ és l'envolvente afí de $A-A$ (que és igual a $\mathrm{span}(A-A)$).

Tancament algebraic

Es diu que un punt $x\in X$ és d'un subconjunt $A\subseteq X$ si existix algun $a\in A$ tal que el segment rectilíneo $[a,x):=a+[0,1)x$ estiga contingut en $A.$. El , indicat per ${\mathrm{acl}}_{X}A,$, consta de $A$ i tots els punts en $X$ als que es pot accedir linealment des de $A.$.

Interior algebraic (núcleu)

En el cas especial en el que $M:=X,$, el conjunt ${\mathrm{aint}}_{X}A$ es denomina interior algebraic o núcleu de $A$ i es denota per $A^i$ o $\text{núcleo}A.$.

Formalment, si $X$ és un espai vectorial, llavors l'interior algebraic de $A\subseteq X$ és

${\mathrm{aint}}_{X}A:=\text{núcleo}(A):=\{a\in A:\text{ para todo }x\in X,\text{ existe algún }{t}_x>0,\text{ tal que para todo }t\in [0,t_x],a+tx\in A\}.$

Si $A$ no està buit, llavors estos subconjunts adicionals també són útils per als enunciats de moltes teoremes en l'anàlisis funcional convex (com el teorema de Ursescu):

${}^{ic}A:=\{\begin{array}{cc}{}^{i}A& \text{si }\mathrm{aff}A\text{ es un conjunto cerrado,}\\ \varnothing & \text{en caso contrario}\end{array}$

${}^{ib}A:=\{\begin{array}{cc}{}^{i}A& \text{si }\mathrm{expan}(A-a)\text{ es un subespacio lineal abarrilado de }X\text{ para cualquier/todo }a\in A\text{,}\\ \varnothing & \text{en caso contrario}\end{array}$

Si $X$ és un espai de Fréchet, $A$ és convex i $\mathrm{aff}A$ està tancat en $X$, llavors ${}^{ic}A={}^{ib}A$ pero en general és possible tindre ${}^{ic}A=\varnothing$ mentres ${}^{ib}A$ és buit.

Eixemples

Si $A=\{x\in {ℝ}^2:x_2\ge x_1^2\text{o }{x}_2\le 0\}\subseteq {ℝ}^2$, llavors $0\in \text{núcleo}(A),$ pero $0\in ̸\mathrm{int}(A)$ i $0\in ̸\text{núcleo}(\text{núcleo}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{)}).$

Propietats del núcleu

Suponga's que $A,B\subseteq X.$

• En general, $\text{núcleo}A\ne \text{núcleo}(\text{núcleo}A).$ Pero si $A$ és convexo, llavors:
  • $\text{núcleo}A=\text{núcleo}(\text{núcleo}A),$ i
  • per a tots els $x_0\in \text{núcleo}A,y\in A,0<\lambda \le 1$ i despuix $\lambda x_0+(1-\lambda )y\in \text{núcleo}A.$
• $A$ és un subconjunt absorbent d'un espai vectorial real si i solament si $0\in \text{núcleo}(A).$
• $A+\text{núcleo}B\subseteq \text{núcleo}(A+B)$
• $A+\text{núcleo}B=\text{núcleo}(A+B)$ si $B=\text{núcleo}B.$

Tant el núcleu com el tancament algebraic d'un conjunt convex són novament convexos. Si $C$ és convexo, $c\in \text{núcleo}C,$ i $b\in {\mathrm{acl}}_{X}C$, llavors el segment rectilíneo $[c,b):=c+[0,1)b$ està contingut en $\text{núcleo}C.$

Relació en l'interior topològic

Siga $X$ un espai vectorial topològic, $\mathrm{int}$ denota l'operador interior i $A\subseteq X$. Llavors:

• $\mathrm{int}A\subseteq \text{núcleo}A$
• Si $A$ és convex no buit i $X$ és de dimensió finita, llavors $\mathrm{int}A=\text{núcleo}A.$
• Si $A$ és convex en interior no buit, llavors $\mathrm{int}A=\text{núcleo}A.$
• Si $A$ és un conjunt convex tancat i $X$ és un espai mètric complet, llavors $\mathrm{int}A=\text{núcleo}A.$

Vore també

• Punt llímit
• Interior (topología)
• Unitat d'orde
• Interior cuasirrelativo
• Conjunt radial
• Interior relatiu
• Teorema de Ursescu

Bibliografia

• (2006) Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Third edició, Berlin: Springer Science & Business Mija. OCLC 262692874. ISBN 978-3-540-29587-7.
• (2011) Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició, New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• (1996) Handbook of Analysis and Its Foundations, First edició, Sant Diego, CA: Academic Press. OCLC 175294365. ISBN 978-0-12-622760-4.
• Convex Analysis in General Vector Spaces, River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. OCLC 285163112. ISBN 978-981-4488-15-0.