Integral de Daniell

En matemàtiques, la integral Daniell és un tipo d'integració que generalisa el concepte de versions més elementals tals com l'integral de Riemann a la que típicament s'introduïxen per primera volta els estudiants. Una de les principals dificultats en la formulació tradicional de l'integral de Lebesgue és que requerix el desenroll inicial d'una teoria de la mida viable ans que es puguen obtindre resultats útils per a l'integral. No obstant, un enfocament alternatiu està disponible, desenrollat per Percy J. Daniell (1918) que no es veu afectada per esta dificultat, i té algunes ventages significatives sobre la formulació tradicional, especialment com l'integral es generalisa a espais de dimensions superiors i atres generalisacions tals com l'integral de Stieltjes. L'idea bàsica consistix en l'axiomatisació de l'integral.

Axioma

Escomencem elegint una família $H$ de funcions reals acotades (cridades funcions elementals) definides sobre un conjunt $X$ , que satisfà estos dos axioma:

$H$ és un espai llineal en les operacions habituals de la suma i la multiplicació escalar.
Si una funció $h (x)$ està en $H$ , també ho és la seua valor absolut $| h (x) |$ .

Ademés, totes les funciones h en H, se li assigna un número real $I h$ , que es diu la integral elemental de h, que satisfà d'estos tres axioma:

La linealidad

Si h i k són elements d'H, i

α

i

β

són dos número real, llavors

I (α h + β k) = α I h + β I k

.

No negatividad

Si

h (x) \geq 0

, llavors

I h \geq 0

.

Continuïtat

Si

h_{n} (x)

és una seqüència no creixent de funcions en

H

que convergix a 0 para tot

x

en

X

, llavors

I h_{n}

convergix a 0.

És dir, es definix una funció llineal no negativa contínua $I$ en l'espai de les funcions elementals.

Estes funcions elementals i les seues integrals elementals poden ser qualsevol conjunt de funcions i definicions de les integrals sobre estes funcions que complixen estos axioma. La família de totes les funcions escalonades satisfà evidentment els axioma anteriors per a funcions elementals. Es definix l'integral elemental de la família de funcions escalonades com l'àrea per baix d'una funció que satisfà, evidentment, els axioma donats per a una integral elemental. L'aplicació de la construcció de l'integral Daniell es descriu més alvance usant funcions escalonades com a funcions elementals lo que produïx una definició equivalent d'integral a l'integral de Lebesgue. L'us de la família de totes les funcions contínues com les funcions elementals i la tradicional integral de Riemann com l'integral elemental també és possible, no obstant, açò li va donar una integral que també és equivalent a la definició de Lebesgue. Fer lo mateix, pero usant l'integral de Riemann-Stieltjes, junt en una funció apropiada de variació acotada, dona una definició equivalent a l'integral de Lebesgue-Stieltjes.

Els conjunts de mida nula poden definir-se en térmens de funcions elementals de la següent manera: Un conjunt $Z$ , que és un subconjunt de $X$ , és un conjunt de mida zero si para tot $ϵ > 0$ , existix una successió no decreixent de funcions elementals no negatives $h_{p} (x)$ en H tal que $I h_{p} < ϵ$ i $\sup_{p} h_{p} (x) \geq 1$ en $Z$ .

Un conjunt es diu un conjunt de mida completa si el seu complement, en relació en $X$ , és un conjunt de mida zero. Nosatres diem que si alguna propietat es té en cada punt d'un conjunt de mida complet (o equivalent en tots els llocs llevat en un conjunt de mida nula), que posseïx tal propietat casi en tots els llocs.

Definició

Encara que el resultat final és el mateix, diferents autors construïxen l'integral de manera diferent. Un enfocament comú és començar en la definició d'una classe més àmplia de funcions, basats en les nostres funcions elementals elegides, la classe $L^{+}$ , que és la família de totes les funcions que són el llímit d'una successió no decreixent $h_{n}$ de funcions elementals, tals que el conjunt d'integrals $I h_{n}$ és acotat. L'integral d'una funció $f$ en $L^{+}$ es definix com:

I f = \lim_{n \to \infty} I h_{n}

Es pot demostrar que esta definició de l'integral està ben definida, és dir, no depén de l'elecció de la seqüència $h_{n}$ .

No obstant, la classe $L^{+}$ és, en general, no tancat para la resta i la multiplicació escalar pels números negatius; cal ampliar encara més per la definició d'una classe més àmplia de funcions $L$ en estes propietats.

El método de Daniell, es descriu en el llibre de Royden, equival a la definició de l'integral superior d'una funció general $ϕ$ per

I^{+} ϕ = \inf_{f} I f

a on es pren l'ínfim sobretot $f$ en $L^{+}$ en $f \geq ϕ$ . L'integral inferior es definix de manera similar com $I^{-} ϕ = - I^{+} (- ϕ)$ . Finalment $L$ consistix en aquelles funcions que els seus superiors i inferiors integrals són finitos i coincidixen, i

\int_{X} ϕ (x) d x = I^{+} ϕ = I^{-} ϕ

Una ruta alternativa, basada en un descobriment de Frederic Riesz, es pren en el llibre de Shilov i Gurevich i en l'artícul de l'Enciclopèdia de Matemàtiques. Ací $L$ es compon d'eixes funcions $ϕ (x)$ que es pot representar en un conjunt de mida completa com la diferència $ϕ = f - g$ , per a algunes funcions $f$ i $g$ de la classe $L^{+}$ . Llavors l'integral d'una funció $ϕ (x)$ es pot definir com:

\int_{X} ϕ (x) d x = I f - I g

Una volta més, es pot demostrar que està ben definit esta integral, és dir, que no depén de la descomposició de $ϕ$ en $f$ i $g$ . Esta resulta ser equivalent a l'integral original de Daniell.

Vore també

Referències

Daniell, P. J. (1918), "A General Form of Integral", Annals of Mathematics, Second Séries (Annals of Mathematics) 19 (4): 279–294, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967495
Daniell, Percy John, 1919, "Integrals in an infinite number of dimensions," Annals of Mathematics 20: 281–88.
Daniell, Percy John, 1919, "Functions of limited variation in an infinite number of dimensions," Annals of Mathematics 21: 30–38.
Daniell, Percy John, 1920, "Further properties of the general integral," Annals of Mathematics 21: 203–20.
Daniell, Percy John, 1921, "Integral products and probability," American Journal of Mathematics 43: 143–62.
Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.ISBN 978-0-02-946620-9.
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
Asplund Edgar and Bungart Lutz, 1966 -"A first course in Integration" - Holt, Rinehart and Winston. library of congress catalog card number-66-10122
Sobolev, V. I. (2001), "^{[enllaç trencat]}", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
Taylor A.E, 1965, "General Theory of Functions and Integration" -I edition -Blaisdell Publishing Company- library of congress catalog card number- 65-14566

Este artícul conté una traducció derivada de «Integral de Daniell» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.