Fòrmula de Landau-Zener

La fòrmula de Landau–Zener és una solució analítica a les equacions de moviment que governen les dinàmiques de les transicions d'un sistema mecanocuántico de dos nivells somés a un Hamiltoniano depenent del temps. És vàlida quan el hamiltoniano varia de manera que la separació d'energia entre els dos estats siga una funció llineal del temps, sense alterar l'acoplament entre la matriu diabática, l'anomenada aproximació (o model) de Landau-Zener. La fòrmula, que dona la provabilitat de transició diabática (no adiabàtica) entre els dos estats d'energia en un creuament evitat, es va publicar per separat per Lev Landáu i Clarence Zener en 1932.

Es diu transició de Landau-Zener al procés pel qual un sistema escomença en l'estat d'energia inferior, i es troba en l'estat d'energia superior en el futur. Per a una variació de la diferència d'energia infinitament llenta (açò és, una velocitat Landau-Zener) de zero, el teorema adiabàtica indica que la transició no tindrà lloc, ya que el sistema es trobarà en tot moment en un estat propi del Hamiltoniano. A velocitats no nules, la transició ocorre en provabilitats descrites per la fòrmula de Landau-Zener.

A voltes es diu método Landau-Zener a un método experimental d'estudi d'imans unimoleculares basat en efectuar agranada successives de camp magnètic medint la magnetisació, per a estudiar la provabilitat de transició d'efecte túnel entre dos estats de diferent moment magnètic. La comparació del resultat en les prediccions de la fòrmula de Landau-Zener permet l'ajust dels paràmetros del hamiltoniano model i elucidar detalls de la dinàmica d'espin.

Aproximació de Landau-Zener

Estes transicions ocorren entre estats del sistema complet, per tant una descripció correcta del sistema deuria incloure totes les influències externes, incloent colisions i camps externs elèctrics i magnètics. No obstant, per a poder resoldre analíticamente les equacions de moviment, es fan una série d'aproximacions, que reben el nom colectiu de «aproximació de Landau Zener». Les simplificació són les següents:

1. El paràmetro de destorbament en el Hamiltoniano és una funció coneguda i llineal del temps
2. La separació d'energia entre els estats diabáticos varia linealment en el temps
3. L'acoplament en la matriu diabática és independent del temps

La primera simplificació fa que este siga un tractament semiclásico. En el cas d'un àtom en un camp magnètic, l'intensitat del camp es convertix en una variable clàssica que es pot determinar de forma precisa durant la transició.

La segona simplificació implica que és possible fer esta substitució:

$\Delta E=E_2(t)-E_1(t)\equiv \alpha t$,

a on $E_1(t)$ i $E_2(t)$ són les energies dels dos estats a temps $t$, donats pels elements diagonals de la matriu Hamiltoniana, i $\alpha$ és una constant. Per al cas d'un àtom en un camp magnètic, açò correspon a un canvi llineal en el camp. Per a un efecte Zeeman llineal, la segona simplificació es deduïx directament de la primera.

L'última simplificació requerix que el destorbament depenent del temps no acople els estats diabáticos; més be, este acoplament ha de ser per una desviació estàtica d'un acoplament de Coulomb de tipo $1/r$, descrit comunament com defecte quàntic.

Fòrmula de Landau-Zener

Els detalls de la solució de Zener són alguna cosa opacs, i es basen en un conjunt de substitucions per a posar l'equació de moviment en forma d'equació de Weber, la solució del qual és coneguda. Una solució més transparent la dona Wittig usant métodos d'integració de contorn.

La figura de mèrit clau en esta aproximació és la velocitat de Landau-Zener:

$v_{LZ}=\frac{\frac{\partial }{\partial t}|E_2-E_1|}{\frac{\partial }{\partial q}|E_2-E_1|}\approx \frac{dq}{dt}$,

a on $q$ és la variable del destorbament (camp elèctric o magnètic, llongitut d'enllaç o qualsevol destorbament del sistema), i $E_1$ and $E_2$ són les energies dels dos estats diabáticos (que es creuen). Una velocitat $v_{LZ}$ gran resulta en una provabilitat de transició diabática.

Usant la fòrmula de Landau–Zener la provabilitat $P_D$ d'una transició diabática ve donada per

$\begin{array}{cc}{P}_D& =e^{-2\pi \Gamma }\\ \Gamma & =\frac{a^2/\hslash }{|\frac{\partial }{\partial t}(E_2-E_1)|}=\frac{a^2/\hslash }{|\frac{dq}{dt}\frac{\partial }{\partial q}(E_2-E_1)|}\\ & =\frac{a^2}{\hslash |\alpha |}\\ \end{array}$

La cantitat $a$ és l'element extradiagonal del Hamiltoniano del sistema de dos nivells que acopla els dos estats propis, i com a tal és la mitat de la diferència entre els valors propis de l'energia en el creuament evitat, quan $E_1=E_2$.