Fòrmula de Euler-Rodrigues

En matemàtiques i mecànica, la fòrmula de Euler-Rodrigues descriu la rotació d'un vector en tres dimensions. Es basa en la Fòrmula de rotació de Rodrigues, pero utilisa una parametrisació diferent.

La rotació es descriu per mig de quatre paràmetros de Euler, ideats per Leonhard Euler. La fòrmula de Rodrigues (cridada aixina per Olinde Rodrigues), un método per a calcular la posició d'un punt girat, s'usa en algunes aplicacions de software, com simuladors de vol i jocs d'ordenador.

Definició

Una rotació sobre l'orige està representada per quatre número real, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , de modo que

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1.

Quan s'aplica la rotació, un punt en la posició $Plantilla:Vec$ gira a la seua nova posició

{\vec{x}}^{'} = (\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} & 2 (b c - a d) & 2 (b d + a c) \\ 2 (b c + a d) & a^{2} + c^{2} - b^{2} - d^{2} & 2 (c d - a b) \\ 2 (b d - a c) & 2 (c d + a b) & a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2} \end{matrix}) \vec{x} .

Formulació vectorial

El paràmetro $a$ pot cridar-se el paràmetro escalar, mentres que la terna $Plantilla:Vec = (b, c, d)$ és el paràmetro vectorial. En notació vectorial estàndart, la fòrmula de rotació de Rodrigues pren la forma compacta

Simetria

Els paràmetros $(a, b, c, d)$ i $(- a, - b, - c, - d)$ descriuen la mateixa rotació. Ademés d'esta simetria, cada conjunt de quatre paràmetros descriu una rotació única en l'espai tridimensional.

Composició de rotacions

La composició de dos rotacions és en sí mateixa és una rotació. Sean $(a 1, b 1, c 1, d 1)$ i $(a 2, b 2, c 2, d 2)$ els paràmetros de Euler de dos rotacions. Els paràmetros de la rotació composta (rotació 2 despuix de la rotació 1) són els següents:

\begin{matrix} a & = a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} - c_{1} c_{2} - d_{1} d_{2}; \\ b & = a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - c_{1} d_{2} + d_{1} c_{2}; \\ c & = a_{1} c_{2} + c_{1} a_{2} - d_{1} b_{2} + b_{1} d_{2}; \\ d & = a_{1} d_{2} + d_{1} a_{2} - b_{1} c_{2} + c_{1} b_{2} . \end{matrix}

És senzill, encara que tediós, verificar que $a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1$ (és essencialment l'identitat dels quatre quadrats de Euler, també utilisada per Rodrigues).

Àngul de rotació i eix de rotació

Qualsevol rotació central en tres dimensions està determinada únicament pel seu eix de rotació (representat per un vector unitari $Plantilla:Vec = (k x, k i, k z)$ ) i l'àngul de rotació $φ$ . Els paràmetros de Euler per a esta rotació es calculen de la següent manera:

\begin{matrix} a & = \cos \frac{φ}{2}; \\ b & = k_{x} \sin \frac{φ}{2}; \\ c & = k_{y} \sin \frac{φ}{2}; \\ d & = k_{z} \sin \frac{φ}{2} . \end{matrix}

Tinga's en conte que si $φ$ aumenta en una rotació completa de 360 graus, els arguments de sen i coseno solament aumenten en 180 graus. Els paràmetros resultants són lo oposts als valors originals, $(- a, - b, - c, - d)$ ; i representen la mateixa rotació.

En particular, la transformació d'identitat (rotació nula, $φ = 0$ ) correspon als valors dels paràmetros $(a, b, c, d) = (\pm1, 0, 0, 0)$ . Les rotacions de 180 graus sobre qualsevol eix donen com a resultat $a = 0$ .

Vore també

Referències

Cartan, Élie (1981). The Theory of Spinors, Dover. ISBN 0-486-64070-1.
Hamilton, W. R. (1899). Elements of Quaternions, Cambridge University Press.
Haug, E.J. (1984). Computer-Aided Analysis and Optimization of Mechanical Systems Dynamics., Springer-Verlag.
Garza, Eduardo. “Benjamin Olinde Rodrigues, matemàtic i filántropo, i la seua influència en la Física Mexicana” (és) (pdf). Revista Mexicana de Física: 109–113.

Este artícul conté una traducció derivada de «Fórmula de Euler-Rodrigues» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.