Fòrmula baromètrica

La fòrmula baromètrica, a voltes cridada atmòsfera exponencial o atmòsfera isotèrmica, és una fòrmula utilisada per a modelar cóm la pressió i la densitat de l'aire canvien en l'altitut. La pressió disminuïx aproximadament en 11,3 pascals per metro en els primers 1000 metros sobre el nivell de el mar.

Equacions de pressió

Artícul principal → Pressió atmosfèrica.

Air pressure p as a function of the altitude h (Barometric formula)

Existixen dos equacions diferents per a calcular la pressió en varis règims d'altura per baix de 86 km (o 278 400 peus). La primera equació s'utilisa quan el valor de la temperatura estàndar «taxa de caiguda» no és igual a zero:

$P=P_b\cdot {\left[\frac{T_b+L_b\cdot (h-h_b)}{T_b}\right]}^{\frac{-g_0\cdot M}{R^{*}\cdot L_b}}$

$P=P_b\cdot \exp \left[\frac{-g_0\cdot M\cdot (h-h_b)}{R^{*}\cdot T_b}\right]$

a on:

$P_b$ = pressió de referència (Pa)

$T_b$ = temperatura de referència (K)

$L_b$ = «taxa de caiguda» de la temperatura (K/m) en ISA

$h$ = altura a la que es calcula la pressió (m)

$h_b$ = altura del nivell de referència b (meters; i.g., h_b = 11 000 m)

$R^{*}$ = Constant dels gasos ideals: 8.3144598 J/(mol·K)

$g_0$ = acceleració de la gravetat en la Terra: 9.80665 m/s²

$M$ = massa molar de l'aire de la Terra: 0.0289644 kg/mol

O convertit a «unitats imperials»:

on

$P_b$ = pressió de referència ( polzades de mercuri)

$T_b$ = temperatura de referència (K)

$L_b$ = «taxa de caiguda» de la temperatura (K/ft) en ISA

$h$ = altura a la que es calcula la pressió (ft)

$h_b$ = altura del nivell de referència b (feet; i.g., h_b = 36,089 ft)

$R^{*}$ = Constant dels gasos ideals:8.9494596×10⁴ lb·ft²/(lb-mol·K·s²)

$g_0$ = acceleració de lagravedad: 32.17405 ft/s²

$M$ = massa molar de l'aire de la Terra: 28.9644 lb/lb-mol

El valor del subíndex b varia de 0 a 6 d'acort en cada una de les sèt capes successives de l'atmòsfera que es mostren en la següent taula. En estes equacions, g₀, M i R^* són constants de valor únic, mentres que P, L, T, i h són constants de valors múltiples d'acort en la taula següent. Els valors usats per a M, g₀, and R^* estan d'acort en l'Atmòsfera Estàndar de EE. UU., 1976, i el valor de R^* en particular no concorda en els valors estàndar per a esta constant.

El valor de referència per a P_b per a b = 0 és el valor del nivell de la mar definida, P₀ = 101 325 Pa o 29.92126 inHg. Els valors de P_b en b = 1 fins a b = 6 s'obtenen de l'aplicació del membre apropiat del parell d'equacions 1 i 2 per al cas en que h = h_b+1.

Subíndex b	Altura sobre el nivell de la mar		Pressió estàtica		Temperatura estàndar (K)	Taxa de lapsus de temperatura
	(m)	(ft)	(Pa)	(inHg)		(°C/m)	(K/ft)
0	0	0	101 325.00	29.92126	288.15	-0.0065	-0.0019812
1	11 000	36,089	22 632.10	6.683245	216.65	0.0	0.0
2	20 000	65,617	5474.89	1.616734	216.65	0.001	0.0003048
3	32 000	104,987	868.02	0.2563258	228.65	0.0028	0.00085344
4	47 000	154,199	110.91	0.0327506	270.65	0.0	0.0
5	51 000	167,323	66.94	0.01976704	270.65	-0.0028	-0.00085344
6	71 000	232,940	3.96	0.00116833	214.65	-0.002	-0.0006096

Equacions de densitat

Les expressions per a calcular la densitat són casi idèntiques a les de calcular la pressió. L'única diferència és l'exponent en l'Equació 1.

Hi ha dos equacions diferents per a calcular la densitat en varis règims d'altura per baix de 86 km geomètrics (84 852 metros geopotenciales o 278 385,8 peus geopotenciales). La primera equació s'utilisa quan el valor de la taxa de variació de temperatura estàndar no és igual a zero; la segona equació s'usa quan la taxa de variació de temperatura estàndar és igual a zero.

Equació 1

$\rho ={\rho }_b\cdot {\left[\frac{T_b}{T_b+L_b\cdot (h-h_b)}\right]}^{(1+\frac{g_0\cdot M}{R^{*}\cdot L_b})}$

Equació 2

$\rho ={\rho }_b\cdot \exp \left[\frac{-g_0\cdot M\cdot (h-h_b)}{R^{*}\cdot T_b}\right]$

a on

$\rho$ = densitat de massa (kg/m³)

$T_b$ = temperatura estàndar (K)

$L$ = taxa de variació de temperatura estàndar (consulte la taula següent) (K / m) en ISA (K/m) in ISA

$h$ = altura sobre el nivell de la mar (metros geopotenciales)

$R^{*}$ = Constant dels gasos ideals 8.3144598 N·m/(mol·K)

$g_0$ = acceleració gravitacional: 9.80665 m/s²

$M$ = massa molar de l'aire de la Terra: 0.0289644 kg/mol

o, convertit a unitats gravitacionals angleses de peu-lliura-segon:

$\rho$ = densitat de massa (slug/ft³)

$T_b$ = temperatura estàndar (K)

$L$ = taxa de variació de temperatura estàndar (consulte la taula següent) (K/ft) en ISA (K/m) in ISA

$h$ = altura sobre el nivell de la mar (peus geopotenciales)

$R^{*}$ = Constant dels gasos ideals 8.3144598 ⁴ ft²/(s·K)

$g_0$ = acceleració gravitacional: 9.80665 ft/s²

$M$ = massa molar de l'aire de la Terra: 0.0289644 kg/mol

El valor del subíndex b varia de 0 a 6 d'acort en cada una de les sèt capes successives de l'atmòsfera que es mostren en la següent taula. El valor de referència per a ρ_b per a b = 0 és el valor definit del nivell de la mar, ρ₀ = 1.2250 kg/m³ o 0.0023768908 slug/ft³. Valors de ρ_b des de b = 1 fins a b = 6 s'obtenen de l'aplicació del membre apropiat del parell d'equacions 1 i 2 per al cas en que h = h_b+1.

En estes equacions g₀, M i R^* són constants de valor únic, mentres que ρ, L, T i h són constants de valors múltiples d'acort en la següent taula. Els valors usats para estan d'acort en l'Atmòsfera Estàndar de EE.UU., 1976, i el valor de R^* en particular no concorda en els valors estàndar per a esta constant.

Subíndex b	Altura sobre el nivell de la mar (h)		Densitat de massa ($\rho$)		Temperatura estàndar (T') (K)	Taxa de lapsus de temperatura (L)
	(metro)	(peu)	(kg/m3)	(slug/ft3)		(K/m)	(K/ft)
0	0	0	1.2250	2.3768908 x 10−3	288.15	-0.0065	-0.0019812
1	11 000	36,089.24	0.36391	7.0611703 x 10−4	216.65	0.0	0.0
2	20 000	65,616.79	0.08803	1.7081572 x 10−4	216.65	0.001	0.0003048
3	32 000	104,986.87	0.01322	2.5660735 x 10−5	228.65	0.0028	0.00085344
4	47 000	154,199.48	0.00143	2.7698702 x 10−6	270.65	0.0	0.0
5	51 000	167,322.83	0.00086	1.6717895 x 10−6	270.65	-0.0028	-0.00085344
6	71 000	232,939.63	0.000064	1.2458989 x 10−7	214.65	-0.002	-0.0006096

Derivació

La fòrmula baromètrica es pot derivar utilisant la Llei dels gasos ideals:

$P=\frac{\rho }{M}\cdot R^{*}T$

Suponent que tota pressió és hidrostàtica:

$dP=-\rho gdz$

i dividint $dP$ per $P$ es té l'expressió:

$\frac{dP}{P}=-\frac{Mgdz}{R^{*}T}$

Integrant esta expressió de la superfície a l'altitut z es té:

$P=P_0{e}^{-\underset{0}{\overset{z}{\int }}Mgdz/R^{*}T}$

Suponent un canvi de temperatura llineal $T=T_0+L\cdot z$ i la massa molar constant i l'acceleració gravitacional, obtenim la primera fòrmula baromètrica:

$P=P_0\cdot {\left[\frac{T_0}{T}\right]}^{\frac{Mg}{R^{*}L}}$

En canvi, suponent una temperatura constant, l'integració dona la segona fòrmula baromètrica:

$P=P_0{e}^{-Mgz/R^{*}T}$

En esta formulació, R^* és la constant dels gasos, i el terme R^*T/Mg dona l'altura d'escala (aproximadament igual a 8.4 kmpara la troposfera

Per a obtindre resultats exactes, cal recordar que les atmòsfera que contenen aigua no es comporten com un gas ideal. Vore gas real o gas perfecte o gas per a una major comprensió.