Domini de Lipschitz

En matemàtica, un domini de Lipschitz (o domini en frontera de Lipschitz) és un domini en l'Espai Euclidiano la frontera del qual és "suficientment regular" en el sentit que esta pot ser considerada com si fora la gràfica d'una funció contínua de Lipschitz. El terme va ser donat pel matemàtic Alemà Rudolf Lipschitz.

Definició

Siga n ∈ N, i prengam Ω com un obert i subconjunt acotat de Rⁿ. Siga ∂Ω que denota la frontera de Ω. Llavors Ω es diu que té una frontera de Lipschitz, i és cridat un domini de Lipschitz, si, per a cada punt p ∈ ∂Ω, existix un radi r > 0 i un mapejat h_p : B_r(p) → Q tal que

• h_p és una biyección;
• h_p i h_p⁻¹ són abdós funcions contínues de Lipschitz;
• h_p(∂Ω ∩ B_r(p)) = Q₀;
• h_p(Ω ∩ B_r(p)) = Q₊;

a on

$B_r(p):=\{x\in {ℝ}^n|\Vert x-p\Vert <r\}$

denota la bola oberta de dimensió n de ràdio r al voltant de p, Q denota la bola unitària B₁(0), i

$Q_0:=\{(x_1,\dots ,x_n)\in Q|x_n=0\};$

$Q_{+}:=\{(x_1,\dots ,x_n)\in Q|x_n>0\}.$

Aplicacions de l'els dominis de Lipschitz

Molts de les desigualtats de Sobolev requerixen que el domini d'estudi siga un domini de Lipschitz. En conseqüència, moltes equacions diferencials parcials i problemes variacionales són definits en un domini de Lipschitz.