Dinàmica fotònica en l'experiment de doble rendija

La dinàmica fotònica en l'experiment de doble rendija descriu la relació entre l'ona electromagnètica clàssica i el fotó, la contraparte quàntica de l'ona electromagnètica clàssica, en el context del experiment de Young .

Descripció clàssica de l'experiment de doble rendija

Equació d'ona electromagnètica

Artícul principal → Equació d'ona electromagnètica.

l'equació d'ona electromagnètica és una versió simplificada de les equacions de Maxwell que descriuen la propagació d'ones electromagnètiques a través d'un mig o del buit. La forma homogénea de l'equació, escrita en térmens del camp elèctric I o el camp magnètic B, pren la forma:

\nabla^{2} 𝐄 - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐄}{\partial t^{2}} = 0

\nabla^{2} 𝐁 - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐁}{\partial t^{2}} = 0

a on c és la velocitat de la llum en el mig. En el buit, c = 299.792.458 m/s, que és la velocitat de la llum en l'espai lliure.

El camp magnètic està relacionat en el camp elèctric a través de la correcció de Maxwell a llei de Ampere

\nabla \times 𝐁 = \frac{1}{c} \frac{\partial 𝐄}{\partial t}

.

Solució d'ona plana de l'equació d'ona electromagnètica

Artícul principal → Solució sinusoidal d'ona plana de l'equació d'ona electromagnètica.

La solució sinusoidal plana per a una ona electromagnètica que viaja en la direcció z és (unitats cgs i unitats SI)

𝐄 (𝐳, t) = (\begin{matrix} E_{x}^{0} \cos (k z - ω t + α_{x}) \\ E_{y}^{0} \cos (k z - ω t + α_{y}) \\ 0 \end{matrix}) = E_{x}^{0} \cos (k z - ω t + α_{x}) \hat{𝐱} + E_{y}^{0} \cos (k z - ω t + α_{y}) \hat{𝐲}

per al camp elèctric, i

𝐁 (𝐳, t) = \hat{𝐳} \times 𝐄 (𝐳, t) = (\begin{matrix} - E_{y}^{0} \cos (k z - ω t + α_{x}) \\ E_{x}^{0} \cos (k z - ω t + α_{y}) \\ 0 \end{matrix}) = - E_{y}^{0} \cos (k z - ω t + α_{y}) \hat{𝐱} + E_{x}^{0} \cos (k z - ω t + α_{x}) \hat{𝐲}

per al camp magnètic, a on k és el número ,

ω_{}^{} = c k

és la freqüència angular de l'ona, i $c$ és la velocitat de la llum. Els capells en els vectores indiquen vectores unitaris en la x, i direccions z.

La radiació electromagnètica pot imaginar-se com una ona oscilante transversal, auto-propagada, dels camps elèctric i magnètic. Este diagrama, mostra una ona plana polarisada linealment, propagant-se d'esquerra a dreta.

l'ona plana és parametrizada pel s d'amplitut

E_{x}^{0} = ∣ 𝐄 ∣ \cos θ

E_{y}^{0} = ∣ 𝐄 ∣ \sin θ

i fases

α_{x}^{}, α_{y}

a on

θ \overset{d e f}{=} \tan^{- 1} (\frac{E_{y}^{0}}{E_{x}^{0}})

.

i

∣ 𝐄 ∣^{2} \overset{d e f}{=} {(E_{x}^{0})}^{2} + {(E_{y}^{0})}^{2}

.

La solució pot escriure's de forma concisa com

𝐄 (𝐳, t) = ∣ 𝐄 ∣ R e {| ψ ⟩ \exp [i (k z - ω t)]}

a on

| ψ ⟩ \overset{d e f}{=} (\begin{matrix} ψ_{x} \\ ψ_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ \exp (i α_{x}) \\ \sin θ \exp (i α_{y}) \end{matrix})

és el vector de Jones en el pla x-i. La notació d'este vector és la notació Bra-Ket de Dirac, que normalment s'utilisa en un context quàntic. La notació quàntica s'utilisa ací en previsió de l'interpretació del vector de Jones com un vector d'estat quàntic.

Solucions d'ona esfèrica i cilíndrica de l'equació d'ona electromagnètica

Ones esfèriques

Artícul principal → Equació d'ona.

És la solució per a ones esfèriques que emanen des de l'orige

𝐄 (𝐫, t) = ∣ 𝐄 (𝐫_{𝟎}, t) ∣ (\frac{r_{0}}{r}) R e {| ψ ⟩ \exp [i (k r - ω t)]}

a on $r$ és la distància des de l'orige i $r_{0}$ és certa distància des de l'orige en el que el camp elèctric $𝐄 (𝐫_{𝟎}, t)$ es medix.

Una volta més, el camp magnètic està relacionat en el camp elèctric per

𝐁 (𝐫, t) = \hat{𝐫} \times 𝐄 (𝐫, t)

a on el vector unitari està en la direcció radial.

Ones cilíndriques

Les solucions cilíndriques de l'equació d'ona per les que emanen d'una llínea infinitament llarga són les funcions de Bessel. Per a grans distàncies de la llínea, la solució es reduïx a

𝐄 (𝐫, t) = ∣ 𝐄 (𝐫_{𝟎}, t) ∣ {(\frac{r_{0}}{r})}^{1 / 2} R e {| ψ ⟩ \exp [i (k r - ω t)]}

𝐁 (𝐫, t) = \hat{𝐫} \times 𝐄 (𝐫, t)

a on $r$ ara és la distància des de la llínea. Esta solució cau com la raïl quadrada de la distància, mentres cau la solució esfèrica com la distància.

Principi de Huygens

Artícul principal → Principi de Fresnel-Huygens.

El principi de Huygens establix que cada punt d'un front d'ona d'alvanç és, en realitat, el centre d'un nou destorbament i la font d'un nou tren d'ones; i que l'ona d'alvanç, en el seu conjunt, pot considerar-se com la suma de totes les ones secundàries derivades de punts en el mig ya travessat.

Açò significa que una ona plana que menyscaba de dos obertures propenques en una barrera, pot considerar-se com dos fonts coherents de la llum que emanen de cada una de les rendijas. Si les obertures es comparen molt en la distància a la que s'observen les ones, les ones són cilíndriques. Si les obertures són molt curtes en comparació a la distància que són observades, les ones són esfèriques. En qualsevol cas, el camp elèctric per l'ona que emana de cada rendija és proporcional a

R e {| ψ ⟩ \exp [i (k r - ω t)]} \overset{d e f}{=} R e {| ϕ ⟩}

.

Interferència

Artícul principal → Interferència.

Considere dos rendijas separades per una distancia d. Coloque una pantalla a distància l de les rendijas. La distància des del recalat 1 a un punt x en la pantalla és

r_{1} = \sqrt{L^{2} + x^{2}}

i la distància des del recalat 2, fins al punt x en la pantalla és

r_{2} = \sqrt{L^{2} + (x - d)^{2}}

.

La gran L i la chicoteta x en comparació a L, la diferència entre les dos distàncies és aproximadament

Δ r \approx \frac{x d}{r_{1}} \approx \frac{x d}{L}

.

El camp elèctric en el punt x està donada per la superposició dels Estats de les ones de cada una de les rendijas i és proporcional a la part real de

| ϕ_{1} ⟩ + | ϕ_{2} ⟩ = | ψ ⟩ {\exp [i (k r_{1} - ω t)] + \exp [i (k r_{2} - ω t)]} = 2 | ϕ_{1} ⟩ \exp [i k \frac{Δ r}{2}] .

L'energia electromagnètica total que colpeja la pantalla en el punt x és proporcional al quadrat del camp elèctric i per lo tant, és proporcional a

\cos^{2} (k Δ r) \approx \cos^{2} (π \frac{x d}{L λ})

a on $λ$ és la llongitut d'ona de la llum. Els camps de les dos rendijas interferixen constructivamente i formen antinodos quan la fase és igual a múltiples de $π$

π \frac{x d}{L λ} = n π n = 0, 1, 2, \dots

o

x_{n} = \frac{n λ}{d} L n = 0, 1, 2, \dots

.

Les ones destructives interferixen i formen nodos a mig camí entre els antinodos.

Descripció semiclásica de l'experiment de doble rendija

És possible explicar per qué una película fotogràfica enfosquix en "espots" a molt baixa intensitat de llum mentres es manté el camp electromagnètic clàssic (descrit per les equacions de Maxwell). A fi d'obtindre resultats correctes cuantitativament, els electrons en la placa fotogràfica o pantalla deuen ser tractats d'acort a l'equació de Schrödinger de la Mecànica Quàntica. Degut a que els àtoms en la pantalla o placa fotogràfica es tracten en Mecànica Quàntica, pero la llum clásicament, eixe anàlisis es diu que és semiclásico. Este tipo de raonament, prediu els resultats correctes quan s'utilisen fonts de llum tèrmiques, i seguix les mateixes llínees com l'efecte fotoeléctrico semiclásico.^[1]

Vore també

Justificació teòrica i experimental de l'equació de Schrödinger (en)

Polarisació dels fotons (en)

Efecte fotoeléctrico

Referències

↑ [1]

Bibliografia

Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.), Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
Baym, Gordon (1969). Lectures on Quàntum Mechanics, W. A. Benjamin. ISBN 0-8053-0667-6.
Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quàntum Mechanics, Fourth Edition, Oxford. ISBN 0-19-851208-2.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Dinámica fotónica en el experimento de doble rendija» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] [1]

[1]