Dimensió isoperimétrica

En matemàtiques, la dimensió isoperimétrica d'una varietat és una noció de dimensió que tracta de capturar cóm el comportament a gran escala de la varietat s'assembla al d'un espai euclidiano (a diferència de la dimensió topològica o la dimensió de Hausdorff que compara diferents comportaments locals en els de l'espai euclidiano).

En l'espai euclidiano, la desigualtat isoperimétrica diu que de tots els cossos en el mateix volum, la pilota té l'àrea superficial més menuda. En atres varietats sol ser molt difícil trobar el cos precís minimisant l'àrea superficial, i d'això no es tracta la dimensió isoperimétrica.

Definició formal

Diem sobre una varietat diferenciable M que satisfà una desigualtat isoperimétrica d-dimensional si per a qualsevol conjunt obert D en M en una frontera suau es té

$\mathrm{area}(\partial D)\ge C\mathrm{vol}(D{)}^{(d-1)/d}.$

Les notacions vol i àrea es referixen a les nocions regulars de volum i superfície de l'àrea en la varietat, o més precisament, si la varietat té n dimensions topològiques, llavors vol es referix al volum de n dimensions i l'àrea es referix a ( n − 1)-volum dimensional. C ací es referix a alguna constant, que no depén de D (pot dependre de la varietat i de d ).

La dimensió isoperimétrica de M és el suprem de tots els valors de d tals que M satisfà una desigualtat isoperimétrica de dimensió d.

Eixemples

Un espai euclidiano de dimensió d té una dimensió isoperimétrica d. Est és el problema isoperimétrico ben conegut — com es va discutir anteriorment, per a l'espai euclidiano, la constant C es coneix precisament perque conseguix el mínim per a la pilota.

Un cilindre infinit (és dir, un producte del círcul i la llínea) té dimensió topològica 2 pero dimensió isoperimétrica 1. De fet, multiplicar qualsevol varietat en una varietat compacta no canvia la dimensió isoperimétrica (solament canvia el valor de la constant C). Tota varietat compacta té dimensió isoperimétrica 0.

Aixina mateix, és possible que la dimensió isoperimétrica siga major que la dimensió topològica. L'eixemple més simple és el gimnasi de la jungla infinita, que té una dimensió topològica 2 i una dimensió isoperimétrica 3. Vore [1] per a imàgens i el còdic de Mathematica.

El pla hiperbòlic té dimensió topològica 2 i dimensió isoperimétrica infinita. De fet, el pla hiperbòlic té una constant de Cheeger positiva. Açò significa que complau la desigualtat

$\mathrm{area}(\partial D)\ge C\mathrm{vol}(D),$

lo que òbviament implica una dimensió isoperimétrica infinita.