Derivada formal

En matemàtiques, la derivada formal és una operació sobre elements d'un anell de polinomis o un anell de series formals de potències que imita la forma de la derivada empleada en càlcul. Encara que semblen similars, la ventaja algebraica d'un derivada formal és que no es basa en la noció de llímit, que en general és impossible de definir per a un anell. Moltes de les propietats de la derivada són verdaderes per a la derivada formal, pero algunes, especialment aquelles que fan declaracions numèriques, no ho són.

La diferenciació formal s'usa en àlgebra per a comprovar la multiplicitat de les raïls d'un element.

Definició

La definició de derivada formal és la següent: donat un anell R (no necessàriament conmutativo), siga A = R[x] l'anell de polinomis sobre R. Llavors, la derivada formal és una operació sobre elements de A, a on si

$f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0,$

llavors la seua derivada formal és

$f^{\prime }(x)=Df(x)=n{a}_n{x}^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_1,$

de la mateixa manera que per als polinomis sobre els números reals o els complexos. Ací $m{a}_i$ no significa multiplicació en l'anell, sino $\sum _{k=1}^m{a}_i,$ a on $k$ mai s'usa dins del sumatorio.

Existix un problema en esta definició d'anells no conmutativos. La fòrmula en sí és correcta, pero no existix una forma estàndar de polinomi. Per lo tant, utilisant esta definició és difícil provar que $(f(x)\cdot b{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot b.$

Definició axiomàtica molt adequada per a anells no conmutativos

A diferència de la fòrmula anterior, es pot definir la derivada formal axiomáticamente com l'aplicació $(\ast {)}^{\prime }:R[x]\to R[x]$ que satisfà les següents propietats:

1) $r^{\prime }=0$ per a tots els $r\in R\subset R[x].$

2) l'axioma de normalisació, $x^{\prime }=1.$

3) L'aplicació commuta en l'operació de suma en l'anell polinomial, $(a+b{)}^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }.$

4) L'aplicació satisfà la llei de Leibniz sobre l'operació de multiplicació de l'anell polinomial, $(a\cdot b{)}^{\prime }=a^{\prime }\cdot b+a\cdot b^{\prime }.$

Es pot provar que esta definició axiomàtica produïx una aplicació ben definida que respecta tots els axioma habituals de l'anell.

La fòrmula anterior (és dir, la definició de la derivada formal quan l'anell de coeficients és conmutativo) és una conseqüència directa dels axioma abans mencionats:

$(\sum _i{a}_i{x}^i{)}^{\prime }=\sum _i(a_i{x}^i{)}^{\prime }=\sum _i((a_i{)}^{\prime }{x}^i+a_i(x^i{)}^{\prime })=\sum _i(0x^i+a_i(\sum _{j=1}^i{x}^{j-1}(x^{\prime })x^{i-j}))=\sum _i\sum _{j=1}^i{a}_i{x}^{i-1}.$

Vore també

• Derivada
• Domini euclídeo
• Mòdul de formes diferencials relatives
• Teoria de Galois
• Série formal de potències
• Derivada de Pincherle

Bibliografia

• Serge Lang (2002). Algebra, Graduate Texts in Mathematics, (Revised third ed.) edició, Nova York: Springer-Verlag, p. 211. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Michael Livshits, podries simplificar el càlcul, arXiv: 0905.3611v1