Constant de Glaisher-Kinkelin

En matemàtiques, la constant de Glaisher-Kinkelin o constant de Glaisher, denotada com A, és una constant matemàtica relacionada en funcions especials com la funció K, la funció G de Barnes, la funció gamma i la funció zeta de Riemann. Du el nom d'els matemàtics James Glaisher i Hermann Kinkelin .

El seu valor aproximat és:

A = 1.282 427 129 100 622 636 87

La constant de Glaisher-Kinkelin $A$ es definix per mig del següent llímit :

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{H(n)}{n^{\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}}{e}^{-\frac{n^2}{4}}}$

on $H(n)$ és el hiperfactorial:

$H(n)=\prod _{i=1}^n{i}^i=1^1\cdot 2^2\cdot 3^3\cdot \mathrm{...}\cdot n^n$

que presenta una similitut entre en la fòrmula de Stirling:

$\sqrt{2\pi }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{n^{n+\frac{1}{2}}{e}^{-n}}$

en el factorial regular:

$n!=\prod _{i=1}^{n}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot \mathrm{...}\cdot n$

Açò demostra que aixina com $\sqrt{2\pi }$ s'obté a partir de l'aproximació dels factorials, $A$ s'obté a partir de l'aproximació dels hiperfactoriales.

Relació en funcions especials

Aixina com els factorials poden estendre's als número complejo per mig de la funció gamma tal que $\Gamma (n)=(n-1)!$ para número natural n, els hiperfactoriales es poden estendre per mig de la funció K en $K(n)=H(n-1)$, també per a número natural n. Tenim:

$K(z):=(2\pi {)}^{-\frac{z-1}{2}}\exp [(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{2})+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}\ln \Gamma (t+1)dt]$

Açò nos dona:

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{K(n+1)}{n^{\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}}{e}^{-\frac{n^2}{4}}}$ .

Una funció relacionada en la funció K és la funció G de Barnes, que és definida com

$G(n)=\frac{(\Gamma (n){)}^{n-1}}{K(n)}$

i per al qual existix un llímit similar:

$\frac{1}{A}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{G(n+1)}{{\left(2\pi \right)}^{\frac{n}{2}}{n}^{\frac{n^2}{2}-\frac{1}{12}}{e}^{-\frac{3n^2}{4}+\frac{1}{12}}}$ .

La constant de Glaisher també apareix en l'evaluació de la funció K i la funció Barnes-G en valors racionals com els següents:

$K(1/2)=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}{e}^{1/8}}$

$K(1/4)=A^{9/8}\exp (\frac{G}{4\pi }-\frac{3}{32})$

$G(1/2)=\frac{2^{1/24}{e}^{1/8}}{A^{3/2}{\pi }^{1/4}}$

$G(1/4)=\frac{1}{2^{9/16}{A}^{9/8}{\pi }^{3/16}{\varpi }^{3/8}}\exp (\frac{3}{32}-\frac{G}{4\pi })$

Tenim la constant del català $G$ i la constant de la lemniscata $\varpi$.

El logaritmo de G ( z + 1) té la següent expansió asintòtica:

$\ln G(z+1)=\frac{z^2}{2}\ln z-\frac{3z^2}{4}+\frac{z}{2}\ln 2\pi -\frac{1}{12}\ln z+(\frac{1}{12}-\ln A)+\sum _{k=1}^N\frac{B_{2k+2}}{4k(k+1)z^{2k}}+O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right)$

La constant $A$ També es pot utilisar per a donar alguns valors de la derivada de la funció zeta de Riemann com a expressions de forma tancada, tals com:

${\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{12}-\ln A$

${\zeta }^{\prime }(2)=\frac{{\pi }^2}{6}(\gamma +\ln 2\pi -12\ln A)$

en γ sent la constant de Euler-Mascheroni .

Sumes i productes

La fòrmula anterior per a ${\zeta }^{\prime }(2)$ dona la següent suma:

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi )$

la qual nos dona un producte relacionat trobat per Glaisher :

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{\frac{1}{k^2}}={\left(\frac{A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}\right)}^{\frac{{\pi }^2}{6}}$

De manera similar tenim la suma

$\sum _{k=3,5,7,\mathrm{...}}\frac{\ln k}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{24}(36\ln A-3\gamma -\ln 16{\pi }^3)$

La qual cosa dona:

$\prod _{k=3,5,7,\mathrm{...}}{k}^{\frac{1}{k^2}}={\left(\frac{A^{36}}{16{\pi }^3{e}^{3\gamma }}\right)}^{\frac{{\pi }^2}{24}}$

Un producte alternatiu, definida sobre els número primo:

$\prod _{p\text{ primo}}^{\mathrm{\infty }}{p}^{\frac{1}{p^2-1}}=\frac{A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}$

Una representació en série per a esta constant es deriva d'una série per a la funció zeta de Riemann donada per Jesús Guillera:

$\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(k+1{)}^2\ln (k+1)$

Vore també

• Aproximació de Stirling
• Llista de constants matemàtiques