Competència de Cournot

El model de competència de Cournot és un model econòmic usat per a descriure una estructura d'indústries en la que les companyies competixen en les cantitats que van a produir. Ho decidixen independentment de l'atra indústria i prenen la decisió al mateix temps. Deu el seu nom a Antoine Augustin Cournot (1801-1877) que es va inspirar en observar la competència en duopolio el mercat d'aigua mineral embotellada. Té les següents característiques:

Hi ha més d'una empresa i totes produïxen un sol ben homogéneu, i.i. no hi ha diferenciació de productes.
Les firmes no cooperen, i.i. no hi ha colusion.
Les firmes tenen poder de mercat, i.i. la producció de cada firma afecta el preu de mercat del ben.
El número de firmes és constant.
Les empreses competixen en cantitats, elegixen les cantitats a produir al mateix temps.
Les empreses són econòmicament racionals i actuen de manera estratègica, usualment buscant maximizar els seus beneficis donades les reaccions de les demés firmes.

Un supòsit essencial d'este model són les variacions conjeturales nules, d'esta manera, cada firma té com a objectiu la maximizació dels seus beneficis, basant-se en l'expectativa de que la seua pròpia decisició no tindrà un efecte en les decisions dels seus rivals, El preu és una funció decreixent de l'oferta total. Totes les firmes coneixen que existixen $N$ firmes en el mercat, i prenen la producció de les demés com donades. Cada firma té una funció de costs $c_{i} (q_{i})$ . Normalment les funcions de costs són tractades com a coneiximent general(totes les firmes coneixen les funcions de costs de les demés firmes). Les funcions de costs poden ser iguals o diferents entre les firmes. El preu del mercat és tal que la demanda és igual a la cantitat produïda per totes les firmes. Cada firma pren la cantitat a produir dels seus competidors com donada, evalua la demanda residual i es comporta com un monopoli.

Trobant gràficament l'equilibri de Cournot en un duopolio

Esta secció presenta un anàlisis del model en 2 agents i costs marginals constants.

p_{1}

= preu de l'agent 1,

p_{2}

= preu de l'agent 2

q_{1}

= cantitat de l'agent 1,

q_{2}

= cantitat de l'agent 2

c

= cost marginal, igual per a les dos firmes

Els preus d'Equilibri seran:

p_{1} = p_{2} = P (q_{1} + q_{2})

Açò implica que el benefici de l'agent 1 està donat per $Π_{1} = q_{1} (P (q_{1} + q_{2}) - c)$

Calculant la funció de reacció de l'agent 1: Suponga que l'agent 1 creu que l'agent 2 està produint la cantitat $q_{2}$ . ¿Com serà la cantitat òptima de producció de l'agent 1?. Considere el diagrama 1. Si l'agent 1 decidix no produir, llavors el preu està donat per $P (0 + q_{2}) = P (q_{2})$ . Si l'agent 1 produïx ${q_{1}}^{'}$ llavors el preu està donat per $P ({q_{1}}^{'} + q_{2})$ . De manera general, per cada cantitat que l'agent 1 decidixca produir, el preu està donat per la curva $d_{1} (q_{2})$ . La curva $d_{1} (q_{2})$ és cridada la funció de reacció de l'agent 1; esta mostra totes les possibles combinacions de cantitats que produiria l'agent 1 i a que preu, donada una producció de $q_{2}$ .

Erro al crear miniatura:

Determinar la producció òptima de l'agent 1: Per a fer açò devem trobar a on els beneficis marginals s'igualen en els costs marginals. El cost marginal (c) s'assumix que és constant. La curva de beneficis marginals és $r_{1} (q_{2})$ en el doble de la pendent de $d_{1} (q_{2})$ i en la mateixa intersecció vertical. El punt a on les dos curves( $c$ i $r_{1} (q_{2})$ ) es intersecan correspon a la cantitat ${q_{1}}^{″} (q_{2})$ . L'òptim de l'agent 1 ${q_{1}}^{″} (q_{2})$ , depén d'ho crea que farà l'agent 2. Per a trobar un equilibri, derivem l'òptim de l'agent 1 per a un atre possibles valors de $q_{2}$ . El diagrama 2 considera els dos possibles valors de $q_{2}$ . Si $q_{2} = 0$ , llavors la funció de reacció del primer agent és efectivament la demanda del mercat, $d_{1} (0) = D$ . La solució òptima per a l'agent 1 és comportar-se com un monopoli; ${q_{1}}^{″} (0) = q^{m}$ ( $q^{m}$ són les cantitats de l'agent 1 en un comportament monopolic). Si l'agent 2 tria la cantitat corresponent a la competència perfecta, $q_{2} = q^{c}$ tal que $P (q^{c}) = c$ , llavors la producció òptima de l'agent 1 serà no produir: ${q_{1}}^{″} (q^{c}) = 0$ .

Est és el punt a on els costs marginals intercepten els beneficis marginals corresponents a $d_{1} (q^{c})$ .

Erro al crear miniatura:

Pot mostrar-se que, donat una demanda llineal i un cost margina constant, la funció ${q_{1}}^{″} (q_{2})$ també és llineal. Si tenim dos punts, podem graficar la funció ${q_{1}}^{″} (q_{2})$ , vore el diagrama 3. Note's que l'eix de les gràfiques han canviat, la funció ${q_{1}}^{″} (q_{2})$ és la funció de reacció de l'agent 1, esta genera la solució òptima de l'agent 1 per a cada decisió de l'agent 2. En atres paraules, dona la escogencia de l'agent 1 donades les creències de lo que farà l'agent 2.

Erro al crear miniatura:

L'última etapa en trobar l'equilibri de Courtnot és trobar la funció de reacció de l'agent 2. En este cas és simètrica en la de l'agent 1 ya que tenen la mateixa funció de costs. L'equilibri és l'intersecció entre les dos funcions de reacció. Vore el diagrama 4.

La predicció del model és que els agents triaran produccions en l'equilibri de Nash.

Calculant l'equilibri

En térmens molt generals, siga la funció de preus per a una indústria (duopolio) $P (q_{1} + q_{2})$ i la firma $i$ té la funció de costs $C_{i} (q_{i})$ . Per a calcular l'equilibri de Nash, les funcions de reacció deuen calcular-se primer.

El benefici de la firma $i$ és el benefici menys els costs. El benefici és el producte del preu per les cantitats i el cost és donat per la funció de costs de la firma, aixina que els guanys (com es varen descriure dalt) són: $Π_{i} = P (q_{1} + q_{2}) . q_{i} - C_{i} (q_{i})$ . La millor resposta és trobar el valor de $q_{i}$ que maximize $Π_{i}$ dau $q_{j}$ , en $i \neq j$ , i.i. es troba la producció que maximizar el benefici, donat una producció de la firma de l'atre duopolista. Llavors, es deu buscar el màxim valor de $Π_{i}$ sobre $q_{i}$ . Primer es pren la derivada de $Π_{i}$ sobre $q_{i}$ :

\frac{\partial Π_{i}}{\partial q_{i}} = \frac{\partial P (q_{1} + q_{2})}{\partial q_{i}} . q_{i} + P (q_{1} + q_{2}) - \frac{\partial C_{i} (q_{i})}{\partial q_{i}}

S'iguala a zero per a trobar un màxim

\frac{\partial Π_{i}}{\partial q_{i}} = \frac{\partial P (q_{1} + q_{2})}{\partial q_{i}} . q_{i} + P (q_{1} + q_{2}) - \frac{\partial C_{i} (q_{i})}{\partial q_{i}} = 0

Els valors de $q_{i}$ que satisfan esta equació són les millors respostes. Els equilibris de Nash són a on abdós $q_{1}$ i $q_{2}$ són les millors respostes donats els valors de $q_{1}$ i $q_{2}$ .

Un eixemple

Suponga que l'indústria té la següent funció de preus: $P (q_{1} + q_{2}) = a - (q_{1} + q_{2})$ .

El benefici de la firma $i$ (en la funció de costs $C_{i} (q_{i})$ tal que $\frac{\partial^{2} C_{i} (q_{i})}{\partial q_{i}^{2}} = 0$ i $\frac{\partial C_{i} (q_{i})}{\partial q_{j}} = 0, j \neq i$ per facilitat de càlcul) és:

Π_{i} = (a - (q_{1} + q_{2})) . q_{i} - C_{i} (q_{i})

La maximizació del problema genera (des del cas general):

\frac{\partial (a - (q_{1} + q_{2}))}{\partial q_{i}} . q_{i} + a - (q_{1} + q_{2}) - \frac{\partial C_{i} (q_{i})}{\partial q_{i}} = 0

Sense perdre la generalitat, considere el problema de la firma 1:

\frac{\partial (a - (q_{1} + q_{2}))}{\partial q_{1}} . q_{1} + a - (q_{1} + q_{2}) - \frac{\partial C_{1} (q_{1})}{\partial q_{1}} = 0

\Rightarrow - q_{1} + a - (q_{1} + q_{2}) - \frac{\partial C_{1} (q_{1})}{\partial q_{1}} = 0

\Rightarrow q_{1} = \frac{a - q_{2} - \frac{\partial C_{1} (q_{1})}{\partial q_{1}}}{2}

Per simetria:

\Rightarrow q_{2} = \frac{a - q_{1} - \frac{\partial C_{2} (q_{2})}{\partial q_{2}}}{2}

Estes són les funcions de reacció de les firmes. Per a qualsevol valor de $q_{2}$ , la firma 1 respon de la millor manera possible en un $q_{1}$ que satisfà les funcions de dalt. En l'equilibri de Nash, abdós firmes estaran usant funcions de reacció per a resoldre simultàneament les funcions de dalt.

Substituint per a $q_{2}$ en la funció de reacció de la firma 1:

q_{1} = \frac{a - (\frac{a - q_{1} - \frac{\partial C_{2} (q_{2})}{\partial q_{2}}}{2}) - \frac{\partial C_{1} (q_{1})}{\partial q_{1}}}{2}

\Rightarrow q_{1} * = \frac{a + \frac{\partial C_{2} (q_{2})}{\partial q_{2}} - 2 * \frac{\partial C_{1} (q_{1})}{\partial q_{1}}}{3}

\Rightarrow q_{2} * = \frac{a + \frac{\partial C_{1} (q_{1})}{\partial q_{1}} - 2 * \frac{\partial C_{2} (q_{2})}{\partial q_{2}}}{3}

L'equilibri de Nash simètric està en $(q_{1} *, q_{2} *)$ . (Vore Holt (2005, Capítul 13) per a eixemples asimètrics). Fent suposicions apropiades per a les derivades parcials (per eixemple, assumir que els costs de cada firma és una funció llineal sobre la cantitat i usant la pendent d'eixa funció en el càlcul), les cantitats d'equilibri poden ser substituïdes en la funció de preus de l'indústria $P (q_{1} + q_{2}) = a - (q_{1} + q_{2})$ per a obtindre el preu d'equilibri del mercat.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Competencia de Cournot» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.