Cocients notables

En àlgebra elemental, els cocients notables són aquells cocients del resultat dels quals s'obtenen polinomis exactes, és dir que el restant és igual a zero, obedint a regles fixes i que poden averiguar-se per simple inspecció; és dir, sense efectuar la divisió.

En la majoria d'ocasions es presenten com a sumes o restes de potencies dividides entre sí, per lo que es poden representar, en la seua forma general, de la següent manera:

$\frac{x^n\pm y^n}{x^m\pm y^m}$

Definició matemàtica

Un cocient notable es definix matemàticament de la següent manera si el valor dels exponents del denominador és igual a 1 (sent els casos d'este tipo els més senzills):

$\frac{x^n\pm y^n}{x\pm y};$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mid n\ge 2$

Aixina mateix, si el valor dels exponents del denominador és distint a 1, el cocient notable pot representar-se de les següents formes:

• Si n i m són positius ($\mathrm{\forall }n,m\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}}$):

$\frac{x^n\pm y^n}{x^m\pm y^m};$ $n\ge 2$ $\wedge$$m\ne 0$ $n>m$$\wedge$$\text{m es factor de n}$

• Si n i m són negatius ($\mathrm{\forall }n,m\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{-}}$):

$\frac{x^n\pm y^n}{x^m\pm y^m};$ $n\le -2$ $\wedge$$m\ne 0$$\wedge$ $m>n$$\wedge$$\text{m es factor de n}$

Finalment, si els primers i segons exponents dels térmens del numerador i del denominador diferixen, el cocient notable pot expressar-se de les següents maneres:

• Si p, q, r i s són positius ($\mathrm{\forall }p,q,r,s\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}}$):

$\frac{x^p\pm y^q}{x^r\pm y^s};$ $\frac{p}{r}=\frac{q}{s}$ $\wedge$ $\mathrm{\forall }p,q\in \mathbb{Z}\mid p,q\ge 2$ $\wedge$ $p>r$ $\wedge$ $q>s$

• Si p, q, r i s són negatius ($\mathrm{\forall }p,q,r,s\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{-}}$):

$\frac{x^p\pm y^q}{x^r\pm y^s};$ $\frac{p}{r}=\frac{q}{s}$ $\wedge$ $p,q\le -2$ $\wedge$ $r>p$ $\wedge$ $s>q$

A pesar de lo anterior, els cocients notables poden estendre's al camp dels complexos

$ℂ$

, incloent ademés dels sancers positius i negatius als exponents formats per fracciones, número irracional i número complejo; llevat en el cas de que els exponents del denominador siguen igual a 1, ademés de que sempre es complixca

$\frac{p}{r}=\frac{q}{s}$

.

Un cocient no és definible com a notable si dit cocient està compost per exponents negatius i positius, o si $m>n$ quan abdós són positius, perque dona lloc a un resultat infinit.

Característiques

1. El restant o residu de la divisió, és igual a zero ($r(x)=0$).

2. Les bases del primer terme del numerador i denominador tenen que ser iguals.

3. Les bases del segon terme del numerador i denominador tenen que ser iguals.

4. El cocient de l'exponent del primer terme del numerador entre l'exponent del primer terme del denominador és igual al cocient de l'exponent del segon terme del numerador entre l'exponent del segon terme del denominador, és dir, $\frac{p}{r}=\frac{q}{s}$.

5. Els exponents del numerador deuen ser majors que els de el denominador ($n>m$).

6. Si es dividix entre una suma de potències, els signes dels térmens resultants s'alternaran entre + i -.

7. Si es dividix entre una diferència de potències, els signes dels térmens resultants seran positius.

Vore també

• Productes notables
• Divisores binómicos
• Potenciació
• Radicació
• Algoritme de Horner
• Àlgebra
• Teorema del restant

Bibliografia

• Baldor, Aurelio (2009). Àlgebra, 2ª edició, Mèxic: Grup Editorial Pàtria, p. 106. ISBN 970-24-0779-6.

• Wentworth, George Albert (1980). Elements d'àlgebra, 2ª edició, Boston: Porrúa, p. 458. ISBN 9789684325296.
• Cohaguila, Sergio (2018). Cocients Notables, Ciències Bàsiques.