Casus irreducibilis

En àlgebra, casus irreducibilis (expressió llatina que es traduïx com "cas irreducible") és un dels casos que poden sorgir en intentar resoldre una equació de tercer grau en coeficients sancers, per a obtindre raïls que s'expressen en raïls. O lo que és lo mateix, es diu que un polinomi de tercer grau es correspon en un casus irreducibilis quan posseïx tres raïls que són número real, pero cap és un número racional.

Específicament, si un polinomi cúbic és irreducible (no factorisable en polinomis de grau inferior) sobre els número racional i té tres raïls reals, llavors, per a expressar les raïls en radicals, es deuen introduir expressions en valors complexos, encara que les expressions resultants siguen en última instància, de valor real.

Esta propietat va ser provada per Pierre Wantzel en 1843.^[1]

És possible determinar si un polinomi cúbic irreducible donat està en casus irreducibilis usant el discriminante D corresponent a l'equació de tercer grau.^[2] Siga l'equació cúbica donada per

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0.

en a ≠ 0. Llavors, el discriminante $D$ que apareix en la solució algebraica ve dau per

D = 18 a b c d - 4 b^{3} d + b^{2} c^{2} - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} .

Si $D < 0$ , llavors el polinomi té dos raïls complexes no reals, per lo que no s'aplica el casus irreducibilis.
Si $D = 0$ , llavors hi ha tres raïls reals, i dos d'elles són iguals i poden ser trobades pel algoritme de Euclides i per la fòrmula quadràtica. Totes les raïls són reals i expressables per radicals reals. El polinomi no és irreducible.
Si $D > 0$ , llavors hi ha tres raïls reals distintes. Existix una raïl racional i es pot trobar usant el teorema de la raïl racional, en el cas de la qual el polinomi cúbic es pot factorizar en el producte d'un polinomi llineal i un polinomi quadràtic, l'últim dels quals es pot resoldre per mig de la fòrmula quadràtica; o no és possible tal factorización, per lo que el polinomi és un "casus irreducibilis": totes les raïls són reals, pero requerixen número complejo per a expressar-les en radicals.

Declaració formal i prova

De manera més general, suponga's que F és un camp real formalment i que p (x) ∈ F[x] és un polinomi cúbic, irreducible sobre F, pero que té tres raïls reals (raïls en el tancament real de F). Llavors segons el casus irreducibilis s'afirma que és impossible trobar una solució de p(x) = 0 per radicals reals.

Per a provar açò,^[3] es deu tindre en conte que el discriminante $D$ és positiu. Forme's l'extensió de cossos $F (Plantilla:Sqrt)$ . Com açò és $F$ o una extensió quadràtica de $F$ (depenent de si $D$ és o no un quadrat en $F$ ), $p (x)$ permaneix irreducible en ell. En conseqüència, el grup de Galois de $p (x)$ sobre $F (Plantilla:Sqrt)$ és el grup cíclico $C 3$ . Suponga's que $p (x) = 0$ pot resoldre's per mig de radicals reals. Llavors $p (x)$ pot dividir-se per una torre d'extensió abeliana

F \subset F (\sqrt{D}) \subset F (\sqrt{D}, \sqrt[p_{1}]{α_{1}}) \subset \dots \subset K \subset K (\sqrt[3]{α})

En el pas final de la torre, $p (x)$ és irreducible en el penúltim camp $K$ , pero es dividix en $K (Plantilla:Raïl)$ per a alguns $α$ . Esta és una extensió de camp cíclico, per lo que deu contindre una raïl de l'unitat.

No obstant, no hi ha raïls terceres primitives de l'unitat en un camp tancat real. Suponga's que ω és una raïl tercera primitiva de l'unitat. Després, pels axioma que definixen un cos ordenat, ω, ω², i 1 són tots positius. Pero si ω ²> ω, llavors elevant a la gaveta abdós costats resulta que 1 > 1, una contradicció; lo que es produïx de manera similar si ω>ω².

Solució en radicals no reals

Solució de Cardano

L'equació $ax 3 + bx 2 + cx + d = 0$ pot reduir-se a un trinomi mónico (és dir, en el coeficient del terme de major grau igual a un) dividint per $a$ i substituint $x = t − Plantilla:Sfrac$ (segons la transformació de Tschirnhaus), donant l'equació $t 3 + pt + q = 0$ a on

p = \frac{3 a c - b^{2}}{3 a^{2}}

q = \frac{2 b^{3} - 9 a b c + 27 a^{2} d}{27 a^{3}} .

Després, independentment del número de raïls reals, segons la solució de Cardano les tres raïls estan donades per

t_{k} = ω_{k} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} + ω_{k}^{2} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}}

a on $ω_{k}$ (k = 1, 2, 3) és una raïl cúbica d'1 ( $ω_{1} = 1$ , $ω_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ i $ω_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ , sent $i$ l'unitat imaginària). Ací, si els radicandos baix de les raïls cúbiques no són reals, les raïls cúbiques expressades per radicals es definixen com qualsevol parell de raïls cúbiques conjugades complexes, mentres que si són reals, estes raïls cúbiques es definixen com les raïls cúbiques reals.

El casus irreducibilis ocorre quan cap de les raïls és racional i quan les tres raïls són distintes i reals; el cas de tres raïls reals distintes ocorre si i solament si $Plantilla:Sfrac + Plantilla:Sfrac < 0$ , en el cas del qual la fòrmula de Cardano implica primer prendre la raïl quadrada d'un número negatiu, que és imaginària, i després prendre la raïl cúbica d'un número complejo (la raïl cúbica del qual no pot per sí mateixa colocar-se en la forma $α + βi$ en expressions específicament donades en radicals reals per a $α$ i $β$ , ya que fer-ho requeriria resoldre de forma independent l'expressió cúbica original). Inclús en el cas reducible en el que una de les tres raïls reals és racional, i per lo tant, pot ser factorizada per divisió polinomial, la fòrmula de Cardano (innecessàriament en este cas) expressa eixa raïl (i les atres) en térmens de radicals no reals.

Eixemple

L'equació cúbica reduïda

x^{3} - 3 x + 1 = 0

és irreducible, perque si es podia factorizar, hi hauria un factor llineal que donaria una solució racional, mentres que segons el teorema de la raïl racional, no existix cap raïl racional. Com el seu discriminante és positiu, té tres raïls reals, per lo que és un eixemple de casus irreducibilis. La fòrmula de Cardano dona estes tres raïls reals pren la forma

t_{k} = ω_{k} \sqrt[3]{- \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{- 3}{4}}} + ω_{k}^{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{- 3}{4}}}

per a k = 1, 2, 3. Esta solució en radicals involucra el número imaginario $\sqrt{\frac{- 3}{4}}$ , i per lo tant, implica les raïls cúbiques de número complejo conjugats.

Referències

↑ (1843).«Classification dones noms incommensurables d’origine algébrique».Nouvelles Annales de Mathématiques.2
117–127.
↑ Cox (2012), Theorem 1.3.1, p. 15.
↑ B.L. van der Waerden, Modern Algebra (translated from German by Fred Blum), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, p. 180.

Bibliografia

. Vore en particular la Secció 1.3 Equacions cúbiques sobre els número real (págs. 15–22) i la Secció 8.6 La Casus Irreducibilis (págs. 220–227).
(2003).«Modern Algebra I».Springer.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Casus irreducibilis» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Wantzel-1] (1843).«Classification dones noms incommensurables d’origine algébrique».Nouvelles Annales de Mathématiques.2
117–127.

[2] Cox (2012), Theorem 1.3.1, p. 15.

[3] B.L. van der Waerden, Modern Algebra (translated from German by Fred Blum), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, p. 180.

[1]

[2]

[3]