Còpules (teoria de provabilitat)

En la teoria de la provabilitat i estadística, una còpula és una funció de distribució multivariada de provabilitat les distribucions marginals de la qual per a cada variable són distribucions uniformes. Les còpules descriuen l'estructura de dependència entre variables aleatòries, no és estrany que la paraula còpula insinua víncul o unió, prové del llatí i el seu significat és conexió o llaç que unix dos coses distintes, similar a les còpules gramaticals en llingüística. Les còpules han segut usades en l'àrea de finances i en aplicacions d'optimisació de carteres.

El célebre teorema de Sklar en 1959, establix que qualsevol funció de distribució conjunta multivariada pot ser escrita en térmens de distribucions marginals univariadas i una còpula, esta última que descriu l'estructura de dependència entre les variables.

Definició matemàtica

Archiu:COPULA1.jpg

Còpula en la gaveta unitat.

Una còpula n-dimensional o n-còpula és una funció $C:[0,1{]}^n\to [0,1]$ que satisfà les següents condicions:

• $C(1,\dots ,1,u_k,1,\dots ,1)=u_k$ per a cada $k\le n$ i $\mathrm{\forall }{u}_k\in [0,1]$,
• $C(u_1,\dots ,u_{k-1},0_k,u_{k+1,\dots },u_n)=0$ per a qualsevol $k\le n$,
• $C$ complix la condició de monotonicidad (H-volum).

Teorema de Sklar

La teorema de Sklar, cridat aixina per Abe Sklar, proporciona el fonament teòric per a l'aplicació de les còpules. La teorema de Sklar afirma que tota funció de distribució multivariante

d'un vector aleatori $(X_1,X_2,\dots ,X_d)$ pot expressar-se en térmens de les distribucions marginals $F_i(x_i)=\mathrm{Pr}[X_i\le x_i]$ i una funció còpula $C$, que satisfà la següent relació:

Si la distribució multivariante admet una densitat de provabilitat $h$, i la seua funció de densitat es coneix, també succeïx que:

a on $c$ és la densitat de la còpula.

Vore també

• Ret d'estat d'eco