Biálgebra

En matemàtiques, una biálgebra sobre un cos K és un espai vectorial sobre K que és un àlgebra associativa unitària i una coálgebra. Les estructures algebraica i coalgebraica deuran complir varis axioma per a dir-se compatibles. En particular, la comultiplicación i la counidad deuen ser abdós homomorfismes de àlgebra o, equivalentement, la multiplicació i l'unitat de l'àlgebra deuen ser morfismos de la coálgebra (abdós condicions són equivalents ya que estan expressades pel mateix diagrama conmutativo).

Les biálgebras similars estan relacionades per homomorfismes de biálgebras. Un homomorfisme de biálgebras és una aplicació llineal que és al mateix temps homomorfisme de àlgebra i homomorfisme de coálgebras.

Com es reflectix en la simetria dels diagrames conmutativos, la definició de biálgebras és autodual, de manera que si es definix un dual de B (la qual cosa és sempre possible si B és de dimensió finita), llavors és automàticament una biálgebra

Definició formal

(B, ∇, η, Δ, ε)  és una biálgebra sobre K si té les següents propietats:

• B és un espai vectorial sobre K;
• existixen aplicacions K-llineals (multiplicació) ∇: B ⊗ B → B (o, equivalentement, aplicacions K-multilineales ∇: B × B → B) i una unitat η: K → B, tals que (B, ∇, η) és un àlgebra associativa unitària;
• existixen aplicacions K-llineals (comultiplicación) Δ: B → B ⊗ B i counidad ε: B → K, tals que (B, Δ, ε) és una coálgebra coasociativa counitaria;
• condicions de compatibilitat expressades pels següents diagrames conmutativos:

1. Multiplicació ∇ i comultiplicación Δ

   

   a on τ: B ⊗ B → B ⊗ B és l'aplicació llineal definida per τ(x ⊗ i) = i ⊗ x per a tot x i i en B,

2. Multiplicació ∇ i counidad ε

   

3. Comultiplicación Δ i unitat η

   

4. Unitat η i counidad ε

   

Coasociatividad i counidad

The aplicació K-llineal Δ: B → B ⊗ B és coasociativa si $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_B\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_B)\circ \Delta$.

L'aplicació K-llineal ε: B → K és una counidad si $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_B\otimes ϵ)\circ \Delta ={\mathrm{i}\mathrm{d}}_B=(ϵ\otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_B)\circ \Delta$.

La coasociatividad i la counidad estan expressades per la conmutatividad dels següents dos diagrames (que són els duals dels diagrames que expressen asociatividad i unitat en un àlgebra).

Vore també

• Cuasi-biálgebra
• Àlgebra de Frobenius
• Àlgebra de Hopf

Bibliografia

• .

Citation

Last name

Dăscălescu

First name

Sorin

title of source

Hopf Algebras: An introduction

Volume

235

Year of publication

2001

Séries

Pure and Applied Mathematics

Edition

1st

Publisher

Marcel Dekker

ISBN

0-8247-0481-9

Last name 2

Năstăsescu

First name 2

Constantin

Last name 3

Raianu

First name 3

Șerban

Coauthor

Năstăsescu

Coauthors

Năstăsescu

Citation

Last name

Dăscălescu

First name

Sorin

title of source

Hopf Algebras: An introduction

Volume

235

Year of publication

2001

Séries

Pure and Applied Mathematics

Edition

1st

Publisher

Marcel Dekker

ISBN

0-8247-0481-9

Last name 2

Năstăsescu

First name 2

Constantin

Last name 3

Raianu

First name 3

Șerban

Coauthor

Năstăsescu

Coauthors

Năstăsescu