Assignació cardinal

En la teoria de conjunts, el concepte de cardinalidad es pot desenrollar de manera significativa sense recórrer a definir els número cardinal com a objectes en la teoria mateixa. Esta perspectiva, adoptada per Gottlob Frege, considera els cardinals de Frege com a classes d'equivalència en tot l'univers de conjunts, definides per equinumerosidad.

Definició de Cardinalidad i Equinumerosidad

Els conceptes relacionats en la cardinalidad es desenrollen per mig de la definició de equinumerosidad en térmens de funcions i els conceptes de funció inyectiva i funció sobreyectiva, que representen la inyectividad i sobreyectividad respectivament. Açò nos permet establir una relació de cuasi-orde:

$A{\le }_{c}B⟺(\mathrm{\exists }f)(f:A\to B\text{es inyectiva})$

Esta relació nos permet comparar tamanys de conjunts sense la necessitat de definir els número cardinal com a objectes separats. cal destacar que esta relació no és un verdader orde parcial, ya que la antisimetría no és necessària. Si tant $A{\le }_{c}B$ com $B{\le }_{c}A$, el teorema de Cantor-Bernstein-Schröeder garantisa que $A{=}_{c}B$, és dir, $A$ i $B$ són equinumerosos, pero no necessàriament iguals en el sentit tradicional.

Assignació Cardinal

L'objectiu d'una assignació cardinal és assignar a cada conjunt $A$ un conjunt específic i únic que depenga solament de la cardinalidad de $A$. Açò concorda en la visió original de Georg Cantor sobre els cardinals: prendre un conjunt i abstraure els seus elements en "unitats" canòniques. Després, es recopilen estes unitats en un atre conjunt de manera que lo únic especial sobre este conjunt siga el seu tamany. Estos conjunts d'unitats estarien totalment ordenats per la relació ${\le }_c$, i l'igualtat ${=}_c$ seria una verdadera igualtat.

No obstant, en la pràctica, esta perspectiva a sovint es considera un eixercici en elegància matemàtica, ya que no agrega un valor substancial a menos que es desige evitar l'us de subíndexs. Existixen diverses aplicacions valioses dels "verdaders" número cardinal en diversos models de teoria de conjunts.

Bibliografia

• Moschovakis, Yiannis N. "Notes on Set Theory". Nova York: Springer-Verlag, 1994.