Anàlisis espectral per mínims quadrats

El resultat d'ajustar un conjunt de punts de senyes en una funció quadràtica

El anàlisis espectral de mínims quadrats (AEMC) és una classe de métodos per a estimar un espectre de freqüència ajustant una sinusoide a les senyes per mig d'un ajust per mínims quadrats. A diferència del anàlisis de Fourier, el método espectral més utilisat en ciència, les senyes no necessiten estar igualment espayats per a usar el AEMC. Ademés, mentres que l'anàlisis de Fourier generalment amplifica el soroll de llarc periodo en registres llarcs o en buits, el AEMC mitiga estos problemes.

El primer método AEMC estrictament de mínims quadrats es va desenrollar en 1969 i 1971, i es coneix com el método de Vanícek o el método de Gauss-Vanicek, en honor al seu inventor Petr Vaníček i a Carl Friedrich Gauss, el descobridor del método de mínims quadrats per a la minimisació d'errors.

Una variant de el AEMC àmpliament coneguda és el método de Lomb o el periodograma de Lomb-Scargle, basat en simplificació computacionals del método de Vanícek introduïdes en les décades de 1970 i 1980, primer per Nicholas R. Lomb i posteriorment per Jeffrey D. Scargle. Posteriorment s'han desenrollat atres variants de el AEMC.

Antecedents històrics

Les estretes conexions entre l'anàlisis de Fourier, el periodograma i l'ajust de sinusoide per mínims quadrats es coneixen des de fa molt temps. No obstant, la majoria dels desenrolls es llimiten a conjunts de senyes completes de mostres igualment espayades. En 1963, Freek J. M. Barning del Mathematisch Centrum de Ámsterdam, va manejar senyes espayades de forma desigual per mig de tècniques similars, que inclouen tant un anàlisis de periodograma equivalent a lo que hui es denomina el método de Lomb com l'ajust per mínims quadrats de freqüències seleccionades de sinusoide determinades a partir de dits periodogramas, i que estan conectades per un procediment conegut hui com busca coincidente en ajust posterior o busca de coincidència ortogonal.

Petr Vaníček, un investigador canadenc geofísico i geodesta de l'Universitat de Nou Brunswick, va propondre en 1969 el método de busca per coincidència per a senyes en intervals iguals i desiguals, al que va denominar anàlisis espectral successiu i el resultat del qual va ser un periodograma de mínims quadrats. Va generalisar este método per a tindre en conte qualsevol component sistemàtic més allà d'una mija simple, com una tendència secular llineal (quadràtica, exponencial, etc.) predita de magnitut desconeguda, i ho va aplicar a diverses mostres en 1971.

El método de mínims quadrats de Vanícek va ser simplificat en 1976 per Nicholas R. Lomb de l'Universitat de Sídney, qui va senyalar la seua estreta relació en l'anàlisis del periodograma. Posteriorment, Jeffrey D. Scargle va modificar i va analisar la definició del periodograma de senyes en intervals desiguals en el Centre d'Investigació Ames, demostrant que, en chicotetes modificacions, es torna idèntica a la fòrmula de mínims quadrats de Lomb per a l'ajust de freqüències sinusoidals individuals.

Scargle afirma que el seu artícul no introduïx una nova tècnica de detecció, sino que estudia la fiabilitat i l'eficiència de la detecció en la tècnica més utilisada, el periodograma, en el cas de que els temps d'observació estiguen irregularment espayats, i ademés senyala, sobre l'ajust de mínims quadrats de sinusoide en comparació a l'anàlisis del periodograma, que el seu artícul establix, aparentment per primera volta, que (en les modificacions propostes) estos dos métodos són exactament equivalents.

Press resumix el desenroll de la següent manera:

Lomb va desenrollar un método d'anàlisis espectral completament diferent per a senyes muestreados de forma desigual, que mitiga estes dificultats i posseïx atres propietats molt desijables, basant-se en part en treballs anteriors de Barning i Vanicek, i que Scargle va ampliar posteriorment.

En 1989, Michael J. Korenberg de la Queen's University de Kingston, Ontario, va desenrollar el método de busca ortogonal ràpida per a trobar més eficaçment una descomposició casi òptima d'espectres o atres problemes, similar a la tècnica que més vesprada es va conéixer com a busca de coincidència ortogonal.

Desenroll de el AEMC i variants

Método de Vanícek

En regressió llineal, se supon que les observacions (roig) són el resultat de desviacions aleatòries (vert) d'una relació subjacent (blau) entre una variable depenent (i) i una variable independent (x). Després, en un ajust normalisat, com per eixemple per mig del criteri de mínims quadrats, els punts de senyes (roig) estan representats per la llínea de millor ajust normal (blau), de la que sempre queden residus (vert)

En el método de Vanícek, un conjunt de senyes discretes s'aproxima per mig d'una suma ponderada de sinusoide de freqüències determinades progressivament, utilisant un ajust estàndar per mig de regressió llineal o mínims quadrats. Les freqüències s'elegixen per mig d'un método similar al de Barning, pero optimisant la selecció de cada nova freqüència successiva en elegir la que minimisa el residu despuix de l'ajust per mínims quadrats (equivalent a la tècnica d'ajust coneguda com busca coincidente en preajuste. El número de sinusoide deu ser menor o igual al número de mostres de senyes (considerant els sens i cosenos de la mateixa freqüència com a sinusoide separades). La relació entre la DFT i l'aproximació de funcions trigonométricas per mig del método de mínims quadrats s'explica detalladament en Strutz, 2017.

Un vector de senyes F es representa com una suma ponderada de funcions base sinusoidals, tabuladas en una matriu A per mig de l'evaluació de cada funció en els instants de mostreig, en un vector de ponderació x:

$\varphi \approx \mathbf{\text{𝐀}}x,$

a on el vector de ponderació x s'elegix per a minimisar la suma dels errors quadràtics en aproximar F. La solució per a x és analítica, utilisant el método estàndar de regressió llineal:

$x=({\mathbf{\text{𝐀}}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\text{𝐀}}{)}^{-1}{\mathbf{\text{𝐀}}}^{\mathrm{T}}\varphi .$

Ací, la matriu A pot basar-se en qualsevol conjunt de funcions mútuament independents (no necessàriament ortogonals) en evaluar-se en els instants de mostreig. Les funcions utilisades per a l'anàlisis espectral solen ser sens i cosenos distribuïts uniformemente en el ranc de freqüències d'interés. Si s'elegixen massa freqüències en un ranc massa estret, les funcions no seran suficientment independents, la matriu estarà mal condicionada i l'espectre resultant carirà de sentit.

Quan les funcions base en A sò ortogonals (és dir, no estan correlacionadas, lo que significa que les columnes tenen producte escalar nul per parells), la matriu A^TA és diagonal. Quan totes les columnes tenen la mateixa potència (sumixca dels quadrats dels elements), llavors eixa matriu és la matriu identitat multiplicada per una constant, per lo que l'inversió és trivial. Açò últim es dona quan els temps de mostreig estan igualment espayats i s'elegixen sinusoide com a sens i cosenos igualment espayats en parells en l'interval de freqüència de 0 a mig cicle per mostra (espayats per 1/N cicles per mostra, ometent les fases sinusoidals en 0 i freqüència màxima a on són idénticamente zero). Este cas es coneix com transformada de Fourier discreta, llaugerament reformulat en térmens de medicions i coeficients.

$x={\mathbf{\text{𝐀}}}^{\mathrm{T}}\varphi$ — Cas DFT per a N mostres i freqüències igualment espayades, dins d'un factor escalar.

Método de Lomb

Densitat espectral (magnitut al quadrat) de dos funcions base sinusoidals, calculades per mig del método del periodograma

En un intent per reduir la càrrega computacional del método de Vanícek en 1976, que actualment ya no representa un problema, Lomb va propondre utilisar la simplificació anterior en general, llevat para correlació per parells entre bases sen i coseno de la mateixa freqüència, ya que les correlació entre parells de sinusoide solen ser menudes, a lo manco quan no estan molt pròximes entre sí. Esta formulació és essencialment la del método del periodograma tradicional, pero adaptada per al seu us en mostres espayades de forma irregular. El vector x és una estimació raonablement bona de l'espectre subjacent, pero ya que s'ignora qualsevol correlació, Ax ya no és una bona aproximació a la senyal, i el método ya no és un método de mínims quadrats. No obstant, en la lliteratura se seguix denominant com a tal.

En lloc de simplement calcular el producte escalar de les senyes en formes d'ona sen i coseno directament, Scargle va modificar la fòrmula estàndar del periodograma per a trobar primer un retardo temporal $\tau$, de modo que este parell de sinusoide anaren mútuament ortogonals en els instants de mostreig $t_j$. Ademés, es va ajustar la fòrmula per a tindre en conte les possibles diferències de potència entre estes dos funcions base, obtenint aixina una millor estimació de la potència en una freqüència. Este procediment va fer que el seu método del periodograma modificat fòra exactament equivalent al método de Lomb. El retardo temporal $\tau$, per definició, és igual a:

$\tan 2\omega \tau =\frac{\sum _j\sin 2\omega t_j}{\sum _j\cos 2\omega t_j}.$

Llavors, el periodograma en la freqüència $\omega$ s'estima com:

$P_x(\omega )=\frac{1}{2}[\frac{{[\sum _j{X}_j\cos \omega (t_j-\tau )]}^2}{\sum _j{\cos }^2\omega (t_j-\tau )}+\frac{{[\sum _j{X}_j\sin \omega (t_j-\tau )]}^2}{\sum _j{\sin }^2\omega (t_j-\tau )}],$

que, com informa Scargle, té la mateixa distribució estadística que el periodograma en el cas de mostreig uniforme.

Per a qualsevol freqüència individual $\omega$, este método proporciona la mateixa potència que un ajust per mínims quadrats a sinusoide d'eixa freqüència i de la forma:

$\varphi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t.$

En la pràctica, sempre és difícil determinar si un pico de Lomb és significatiu o no, especialment quan es desconeix la naturalea del soroll. Per eixemple, un pico espectral de falsa alarma en l'anàlisis del periodograma de Lomb d'una senyal periòdica sorollosa pugues deure's al soroll en les senyes de turbulència. Els métodos de Fourier també poden reportar picos espectrals falsos en analisar senyes modificades o editats.

Periodograma generalisat de Lomb-Scargle

El periodograma estàndar de Lomb-Scargle solament és vàlit per a un model en mija zero. Comunament, açò s'aproxima restant la mija de les senyes abans de calcular el periodograma. No obstant, esta suposició és inexacta quan la mija del model (les sinusoide ajustades) és distinta de zero. El periodograma de Lomb-Scargle generalisat elimina esta suposició i resol explícitament la mija. En este cas, la funció ajustada és:

$\varphi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t+C.$

El periodograma de Lomb-Scargle generalisat també es coneix en la lliteratura com periodograma de mija flotant.

Método de busca ortogonal ràpida de Korenberg

Michael Korenberg, de la Queen's University de Kingston (Ontario), va desenrollar un método per a seleccionar un conjunt dispers de components d'un conjunt sobrecompleto —com a components sinusoidals per a anàlisis espectral— denominat busca ortogonal ràpida (FOS). Matemàticament, FOS utilisa una factorización de Cholesky llaugerament modificada en un procés de reducció de l'error quadràtic mig (MSER), implementat com una inversió de matriu dispersa. De la mateixa manera que atres métodos AEMC, FOS evita la principal llimitació de l'anàlisis de Fourier discret, per lo que pot identificar en precisió periodicitat incrustades i destaca en senyes espayades de forma desigual. El método de busca ortogonal ràpida també es va aplicar a atres problemes, com l'identificació de sistemes no llineals.

Método de chi-quadrat de Palmer

Palmer ha desenrollat un método per a trobar la funció que millor s'ajusta a qualsevol número d'harmònics elegit, lo que permet major llibertat per a trobar funcions harmòniques no sinusoidals.

La seua tècnica és ràpida (basada en la transformada ràpida de Fourier (TRF) para anàlisis de mínims quadrats ponderats en senyes en intervals arbitraris i errors estàndar no uniformes. El còdic font que implementa esta tècnica està disponible. Ya que les senyes a sovint no es muestrean en intervals discrets uniformemente espayats, este método cuadricula les senyes reblint de forma dispersa una matriu de séries temporals en els instants de mostreig. Tots els punts intermijos de la cuadrícula reben un pes estadístic zero, lo que equival a tindre barres d'error infinites en els intervals entre mostres.