Isomorfisme de grups

En teoria de grups, es diu que dos grups són isomorfos o isomòrfics si existix un isomorfisme entre ells, és dir, un homomorfisme de grups biyectivo. Des d'un punt de vista abstracte, els grups isomorfos tenen la mateixa estructura i mateixes propietats i només es diferencien pels símbols utilisats per a denotar al conjunt subjacent, els seus elements i l'operació.

L'isomorfisme de grups és una relació d'equivalència, i per tant permet classificar els grups «llevat isomorfisme». Quan dos grups són isomorfos, es diu que pertanyen a la mateixa classe de isomorfía o que tenen el mateix tipo d'isomorfisme.

Definició

Una aplicació $\varphi :G⟶\overline{G}$ entre els grups $(G,\cdot )$ i $(\overline{G},*)$ és un isomorfisme de grups si es complixen les dos condicions següents:

1. $\varphi$ és un homomorfisme de grups: per a tot parell d'elements $x,y\in G$ es complix que $\varphi (x\cdot y)=\varphi (x)*\varphi (y)$.
2. $\varphi$ és una biyección: fa correspondre de manera biunívoca els elements de $G$ en els de $\overline{G}$.

En tal situació es diu que els grups $G$ i $\overline{G}$ són isomorfos i es denota per $G\approx \overline{G}$.

Eixemples

• El grup multiplicativo dels reals positius i el grup aditiu dels reals són isomorfos baix l'aplicació exponencial: $f(x)=e^x$.
• El grup diedral del triàngul D₃ i el grup de permutació de tres elements S₃ són isomorfos.
• El grup de Klein V (de les simetria d'un rectàngul) és isomorfo al producte directe C₂ &claves; C₂ .
• Donat un número primo p, tots els grups d'orde p són isomorfos entre sí.

Equivalència de grups isomorfos

Els isomorfismes de grups permeten descriure una relació matemàtica, que es pot expressar com: «el grup G és isomorfo al grup H» si existix un isomorfisme $G\to H$. Esta relació és una relació d'equivalència:

• és reflexiva: Tot grup G és isomorfo a sí mateixa baix la funció identitat $i{d}_G:G\to G:x\mapsto x$. Esta funció és òbviament una biyección, i és un homomorfisme,

puix :$i{d}_G(x\cdot y)=x\cdot y=i{d}_G(x)\cdot i{d}_G(y)$.

• és simètrica: si G és isomorfo a H llavors H és isomorfo a G. Donat un isomorfisme $\varphi :G\to H$, l'aplicació inversa ${\varphi }^{-1}:H\to G$ és també un isomorfisme.

• és transitiva: si G és isomorfo a H i H és isomorfo a K llavors G és isomorfo a K. Sean $(G,\cdot ),(H,*)$ i $(K,\times )$ tres grups, i siguen $\varphi :G\to H$ i $\psi :H\to K$ isomorfismes. Llavors la composició $\psi \circ \varphi :G\to K$ és també un isomorfisme.

Referències

Bibliografia

• (2004) Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups, 4ª edició, Springer.