Llei del logaritme iterado

Gràfica de $S_n/n$ (roig), la seua desviació típica $1/\sqrt{n}$ (blava) i la seua cota $\sqrt{2\log \log n/n}$ donada per la llei del logaritme iterado (vert). Observe's la forma aleatòria en que canvia de la seua cota superior a la seua cota inferior. Abdós eixos estan escalats per una funció no llineal (vore detalls en la versió en anglés).

En teoria de la provabilitat, la llei del logaritme iterado descriu la magnitut de les fluctuacions d'un passejada aleatòria. L'enunciat original d'esta llei es deu a A. Y. Jinchin (1924). A. N. Kolmogórov va donar una atra versió en 1929.

Enunciat

Siguen $\{Y_n\}$ variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes, en mija zero i varianza un. Siga $S_n=Y_1+\cdots +Y_n$. Llavors$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\pm S_n}{\sqrt{2n\log \log n}}=1$$casi segurament.

Discussió

Llei del logaritme iterado, Teoria de la provabilitat

La llei del logaritme iterado opera "entre" la llei dels grans números i el teorema central del llímit. Hi ha dos versions de la llei dels grans números (la dèbil i la forta), i afirmen que les sumes $S_n$, escalades per $n^{-1}$, convergixen a zero (en provabilitat i casi segurament, respectivament):

$\frac{S_n}{n}\stackrel{p}{\to }0,\frac{S_n}{n}\stackrel{c.s.}{\to }0,\text{cuando }n\to \mathrm{\infty }.$

Per una atra part, la teorema central del llímit afirma que les sumes $S_n$, escalades per $n^{-1/2}$, convergixen en distribució a una distribució normal estàndar. Per la llei zero-u de Kolmogórov, per a cada $M$ fix, la provabilitat de l'event $\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\ge M$ és 0 o 1. Pero

$\mathrm{Pr}(\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\ge M)⩾\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\mathrm{Pr}(\frac{S_n}{\sqrt{n}}\ge M)=\mathrm{Pr}(𝒩(0,1)\ge M)>0,$

després

$\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\mathrm{\infty }\text{con probabilidad 1.}$

Un argument anàlec prova que

$\underset{n}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}=-\mathrm{\infty }\text{con probabilidad 1.}$

Per tant, estes cantitats no poden convergir casi segurament. De fet, tampoc poden convergir en provabilitat, per l'igualtat

$\frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}-\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}-(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{S_n}{\sqrt{n}}$

i al fet de que les variables aleatòries

$\frac{S_n}{\sqrt{n}}\text{and}\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}$

són independents i convergixen en distribució a $𝒩(0,1).$

La llei del logaritme iterado proporciona el factor d'escala en el que els dos llímits es tornen diferents:

$\frac{S_n}{\sqrt{2n\log \log n}}\stackrel{p}{\to }0,\frac{S_n}{\sqrt{2n\log \log n}}\stackrel{c.s.}{\nrightarrow }0,\text{cuando}n\to \mathrm{\infty }.$

Aixina, encara que per a qualsevol $ϵ>0$ fixe la cantitat $|S_n/\sqrt{2n\log \log n}|$ serà menor que $ϵ$ en provabilitat tendint a 1, esta cantitat serà no obstant major que $ϵ$ per a valors de $n$ arbitrariamente grans, casi segurament; de fet, esta cantitat visitarà els entorns de qualsevol punt de l'interval $(-1,1)$ per a valors de $n$ arbitrariamente grans, casi segurament.