Llei del logaritme iterado

En teoria de la provabilitat, la llei del logaritme iterado descriu la magnitut de les fluctuacions d'un passejada aleatòria. L'enunciat original d'esta llei es deu a A. Y. Jinchin (1924). A. N. Kolmogórov va donar una atra versió en 1929.

Gràfica de $S_n/n$ (roig), la seua desviació típica $1/\sqrt{n}$ (blava) i la seua cota $\sqrt{2\log \log n/n}$ donada per la llei del logaritme iterado (vert). Observe's la forma aleatòria en que canvia de la seua cota superior a la seua cota inferior. Abdós eixos estan escalats per una funció no llineal (vore detalls en la versió en anglés).

Enunciat

Siguen $\{Y_n\}$ variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes, en mija zero i varianza un. Siga $S_n=Y_1+\cdots +Y_n$. Llavors$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\pm S_n}{\sqrt{2n\log \log n}}=1$$casi segurament.

Discussió

Llei del logaritme iterado, Teoria de la provabilitat

La llei del logaritme iterado opera "entre" la llei dels grans números i el teorema central del llímit. Hi ha dos versions de la llei dels grans números (la dèbil i la forta), i afirmen que les sumes $S_n$, escalades per $n^{-1}$, convergixen a zero (en provabilitat i casi segurament, respectivament):

$\frac{S_n}{n}\stackrel{p}{\to }0,\frac{S_n}{n}\stackrel{c.s.}{\to }0,\text{cuando }n\to \mathrm{\infty }.$

Per una atra part, la teorema central del llímit afirma que les sumes $S_n$, escalades per $n^{-1/2}$, convergixen en distribució a una distribució normal estàndar. Per la llei zero-u de Kolmogórov, per a cada $M$ fix, la provabilitat de l'event $\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\ge M$ és 0 o 1. Pero

$\mathrm{Pr}(\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\ge M)⩾\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\mathrm{Pr}(\frac{S_n}{\sqrt{n}}\ge M)=\mathrm{Pr}(𝒩(0,1)\ge M)>0,$

després

$\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\mathrm{\infty }\text{con probabilidad 1.}$

Un argument anàlec prova que

$\underset{n}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}=-\mathrm{\infty }\text{con probabilidad 1.}$

Per tant, estes cantitats no poden convergir casi segurament. De fet, tampoc poden convergir en provabilitat, per l'igualtat

$\frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}-\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}-(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{S_n}{\sqrt{n}}$

i al fet de que les variables aleatòries

$\frac{S_n}{\sqrt{n}}\text{and}\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}$

són independents i convergixen en distribució a $𝒩(0,1).$

La llei del logaritme iterado proporciona el factor d'escala en el que els dos llímits es tornen diferents:

$\frac{S_n}{\sqrt{2n\log \log n}}\stackrel{p}{\to }0,\frac{S_n}{\sqrt{2n\log \log n}}\stackrel{c.s.}{\nrightarrow }0,\text{cuando}n\to \mathrm{\infty }.$

Aixina, encara que per a qualsevol $ϵ>0$ fixe la cantitat $|S_n/\sqrt{2n\log \log n}|$ serà menor que $ϵ$ en provabilitat tendint a 1, esta cantitat serà no obstant major que $ϵ$ per a valors de $n$ arbitrariamente grans, casi segurament; de fet, esta cantitat visitarà els entorns de qualsevol punt de l'interval $(-1,1)$ per a valors de $n$ arbitrariamente grans, casi segurament.