Trisectriz de Ceva

Archiu:Cycloid of ceva.svg

Trisectriz o cicloide de Ceva

La trisectriz de Ceva, també coneguda com a cicloide de Ceva, és una curva plana que du el nom de Tommaso Ceva (1648-1736), i que es pot utilisar per a la trisecció d'un àngul arbitrari (d'ahí el nom de trisectriz). El propi Ceva es va referir a la curva com cycloidum anomalarum.

Definició geomètrica

Archiu:01 Zykloide v. Ceva -Gerade.gif

Animació de la construcció de la Cicloide de Ceva

Archiu:Cycloid of ceva2.svg

Propietat angular de la cicloide de Ceva:
$\phi =\mathrm{\angle }{P}_{1}O{P}_2=\mathrm{\angle }{P}_1{P}_{2}O$ (triàngul isósceles)
$2\phi =\mathrm{\angle }{P}_3{P}_1{P}_2=\mathrm{\angle }{P}_3{P}_1{P}_2$ (teorema de l'àngul exterior, conjunt bàsic d'ànguls)
$3\phi =180^{\circ }-(180^{\circ }-4\phi )-\phi$ (àngul, suma d'ànguls)

Per a un punt $P_1$ de la circumferència goniométrica es construïx la llínea recta $O{P}_1$ que conecta el punt en l'orige $O$. Després, es determina sobre l'eix x el punt $P_2$, que té una distància d'1 des de $P_1$. Finalment, es determina llavors el punt $P_3$ com l'intersecció (distinta del punt $P_1$) de la llínea recta $O{P}_1$ en la circumferència de radi 1 i centre $P_2$. La cicloide de Ceva és ara el lloc geomètric dels punts $P_3$, que s'obté rotando el punt $P_1$ i per lo tant també la llínea recta $O{P}_1$, al voltant de l'orige $O$.

El lloc geomètric consta de quatre bucles axialmente simètrics en l'orige, sent els dos bucles de l'eix x significativament més grans que els dos de l'eix i. Si solament s'usa la semirrecta $O{P}_1$ en lloc de la recta, llavors s'ometen els dos menuts bucles en l'eix i.

Per la seua construcció, l'àngul entre la llínea recta $O{P}_1$ i l'eix x és exactament un terç de l'àngul entre la llínea $P_2{P}_3$ i l'eix x (vore el dibuix). Per esta propietat, la curva es pot utilisar com una trisectriz.

Si es continua el procés de construcció dels punts $P_1$, $P_2$ i $P_3$ per a atres punts $P_k$, s'obtenen $k$ curves del lloc geomètric de $P_k$ que són sectrices de Ceva para $k$=impar.

Forma de l'equació i paràmetro

La següent equació en coordenades polars es pot deduir de la definició geomètrica en l'ajuda del teorema del coseno:

$r=1+2\cos (2\phi )$.

La següent representació s'obté com la curva de paràmetros $\gamma :[0,2\pi ]\to {ℝ}^2$ en coordenades cartesianas:

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cos (t)+\cos (3t)\\ \sin (3t)\end{array}\right)$.

Ademés, la següent equació dona com resultat coordenades cartesianas, comprovant-se que la cicloide de Ceva és una curva algebraica de sext grau:

$(x^2+y^2{)}^3=(3x^2-y^2{)}^2$.

Bibliografia

• Gino Loria: Spezielle algebraische und transscendente Ebene Kurven: Theorie und Geschichte. Teubner, 1902, S. 324–325
• Eugene V. Shikin: Handbook and Atles of Curves. CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634, S. 315
• Robert C. Yates: The Trisection Problem. National Mathematics Magazine, Band 15, Nr. 4 (Jan., 1941), S. 191–202 (JSTOR)
• Robert C. Yates: The Trisection Problem. Classics in Mathematics Education Séries Volume 3, The National Teachers of Mathematics, Education Resources Information Center, 1971, S. 39–40 (Online-Kopie)

• Laszlo Nemeth: Sectrix Curves on the Sphere. KOG 19, Dezember 2015, S. 42–47
• Tommaso Ceva: Opuscula mathematica. Mailand, 1699, S. 31 (Online-Kopie)