Transformada de Hankel

En matemàtiques, la transformada de Hankel és una transformada integral, desenrollada per primera volta pel matemàtic Hermann Hankel, que expressa una funció $f (r)$ com suma ponderada d'un número infinit de funcions de Bessel de primer tipo $J_{ν} (k r)$ . També es coneix com transformada de Fourier-Bessel. Les funcions de Bessel del núcleu de l'integral són totes del mateix orde. $ν$ , pero diferixen en el factor d'escala $k$ a lo llarc de l'eix $r$ . El coeficient $F_{ν}$ de cada funció de Bessel, vista com una funció del factor d'escala $k$ , constituïx la transformada de Hankel. La transformada de Hankel està estretament relacionada en la série de Fourier-Bessel, de la mateixa manera que la transformada de Fourier per a un interval infinit està relacionada en la série de Fourier en un interval finito.

Definició

La transformada de Hankel d'orde $ν$ d'una funció $f (r)$ és:

F_{ν} (k) = \int_{0}^{\infty} f (r) J_{ν} (k r) r d r,

on $J_{ν}$ és la funció de Bessel del primer tipo d'orde $ν$ , en $ν \geq - 1 / 2$ . La transformada inversa de Hankel de $F_{ν} (k)$ Es definix com

f (r) = \int_{0}^{\infty} F_{ν} (k) J_{ν} (k r) k d k,

per lo que pot verificar-se una relació de ortogonalidad entre les funcions de Bessel.

Domini de definició

L'inversió de la transformada de Hankel d'una funció. $f (r)$ és vàlit en tots els punts a on $f (r)$ és continu, sempre que estiga definit i siga continu per parts $(0, \infty)$ , en variació llimitada en cada subintervalo finito de $(0, \infty)$ i

\int_{0}^{\infty} | f (r) | r^{\frac{1}{2}} d r < \infty .

No obstant, en analogia en la transformada de Fourier, es pot ampliar el domini per mig del raonament de densitat, incloent algunes funcions per a les quals l'integral anterior no és finita, com $f (r) = (1 + r)^{- 3 / 2}$ .

Definició alternativa

Una definició alternativa establix que la transformada de Hankel de $g (r)$ és ^[1]

h_{ν} (k) = \int_{0}^{\infty} g (r) J_{ν} (k r) \sqrt{k r} d r .

Les dos definicions estan relacionades:

Si

g (r) = f (r) \sqrt{r}

, llavors

h_{ν} (k) = F_{ν} (k) \sqrt{k} .

Açò significa que, de la mateixa manera que en la definició anterior, la transformada de Hankel definida d'esta manera és la seua pròpia inversa:

g (r) = \int_{0}^{\infty} h_{ν} (k) J_{ν} (k r) \sqrt{k r} d k .

El domini ara té la condició

\int_{0}^{\infty} | g (r) | d r < \infty,

pero es pot ampliar. Segons de Branges, es pot prendre l'integral com el llímit en el llímit superior tendint a l'infinit (una integral impròpia en lloc d'una integral de Lebesgue ), i d'esta manera la transformada de Hankel i la seua inversa es definixen per a cada funció en L ² ( 0, ∞).

Ortogonalidad

Les funcions de Bessel formen una base ortogonal quan es ponderen en la funció $r$ : ^[2]

\int_{0}^{\infty} J_{ν} (k r) J_{ν} (k^{'} r) r d r = \frac{δ (k - k^{'})}{k}, k, k^{'} > 0.

Referències

↑ Louis de Branges (1968). Hilbert spaces of entire functions, Prentice-Hall, p. 189. ISBN 978-0-13-388900-0.
↑ (2015).European Journal of Physics.36(1)doi:10.1088/0143-0807/36/1/015016.

Bibliografia

Gaskill, Jack D. (1978). Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-29288-3.
(1998) Handbook of Integral Equations, CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.

Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity, 3rd edició, McGraw-Hill, pp. 179–223.
(1935).Proceedings of the London Mathematical Society.39(2)

49–67.doi:10.1112/plms/s2-39.1.49.

(1955).Philosophical Transactions of the Royal Society A.247(935)

529–551.doi:10.1098/rsta.1955.0005.

(1967).Mathematics of Computation.21(99)

407–412.doi:10.1090/S0025-5718-67-99149-1.

(1972).Mathematics of Computation.26(118)

515–527.doi:10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9.

(1973).Mathematics of Computation.27(124)

871–872.doi:10.2307/2005522.

(1976).Journal of the Optical Society of America.66(3)

207–211.doi:10.1364/JOSA.66.000207.

(1977).Opt. Lett..1(1)

13–15.doi:10.1364/OL.1.000013.

(1992).J. Opt. Soc. Am. A.9(11)

2031–2033.doi:10.1364/JOSAA.9.002031.

(1993).Journal of the Optical Society of America A.10(9)doi:10.1364/JOSAA.10.001872.
(1996).Applied Mathematics Letters.9(5)

21–26.doi:10.1016/0893-9659(96)00067-5.

(1999).J. Opt. Soc. Am. A.16(10)

2581–2582.doi:10.1364/JOSAA.16.002581.

(1999).Comp. Phys. Comm..116(2–3)

278–294.doi:10.1016/S0010-4655(98)00108-8.

(1999).ACM Trans. Math. Softw..25(2)

240–250.doi:10.1145/317275.317284.

^{[enllaç trencat]}
(2002).Opt. Express.10(12)

521–525.doi:10.1364/oe.10.000521.

(2003).J. Opt. Soc. Am. A.20(4)

621–630.doi:10.1364/JOSAA.20.000621.

(2004).J. Opt. Soc. Am. A.21(9)doi:10.1364/JOSAA.21.001811.
(2004).J. Opt. Soc. Am. A.21(1)

53–58.doi:10.1364/JOSAA.21.000053.

(2007).J. Opt. Soc. Am. A.24(6)

1609–1616.doi:10.1364/JOSAA.24.001609.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Transformada de Hankel» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Louis de Branges (1968). Hilbert spaces of entire functions, Prentice-Hall, p. 189. ISBN 978-0-13-388900-0.

[2] (2015).European Journal of Physics.36(1)doi:10.1088/0143-0807/36/1/015016.

[1]

[2]