Transformada d'Abel

En matemàtiques, la transformada d'Abel, cridada aixina per Niels Henrik Abel, és una transformada integral freqüentment usada en l'anàlisis de funcions de simetria esfèrica o axial. La transformada d'Abel d'una funció f(r) està donada per:

$F(y)=2\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(r)rdr}{\sqrt{r^2-y^2}}.$

Si f(r) tendix a zero més ràpidament que 1/r, la transformada inversa d'Abel ve donada per

$f(r)=-\frac{1}{\pi }\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dF}{dy}\frac{dy}{\sqrt{y^2-r^2}}.$

En anàlisis d'imàgens, s'usa una transformada d'Abel per a proyectar una funció d'emissió ópticamente prima i de simetria axial sobre un pla. La transformada inversa s'usa per a calcular la funció d'emissió, donada una certa proyecció (ej. un escanege o una fotografia) d'esta funció.

Recentment la transformada inversa d'Abel (i les seues variants) s'ha convertit en la pedra angular de l'anàlisis de senyes d'imàgens tipo fotó/fragmente/ion (photofragment-ion imaging) i fotó/electró (photoelectron imaging). Entre les més notables extensions recents de la transformada inversa d'Abel estan els métodos Onion Peeling i BAsis Set Expansion (BASEX) per a anàlisis d'imàgens tipo fotó/electró i fotó/ion.

Interpretació geomètrica

Una interpretació geomètrica de la transformada d'Abel en dos dimensions. Un observador (I) mira a lo llarc de la llínea paralela a l'eix x a una distància i sobre l'orige. Lo que l'observador mira és la proyecció (i.i. l'integral) de la funció de simetria circular f(r) a lo llarc de la llínea de visió. La funció f(r) està representada en grisa en esta figura. Se supon que l'observador està a distància infinita de l'orige de manera que els llímits d'integració són ±∞.

En dos dimensions, la transformada d'Abel F(i) pot ser interpretada com la funció de simetria circular f(r) a lo llarc d'un conjunt de llínees de visió, les quals estan a una distància i des de l'orige. En referència a la figura de la dreta, l'observador (I) vorà:

$F(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\sqrt{x^2+y^2})dx$

a on f(r) és la funció de simetria circular representada en grisa en la figura. S'assumix que l'observador està en x = ∞ de manera que els llímits d'integració són ±∞ i totes les llínees de visió són paraleles a l'eix x. Notant que el ràdio r es relaciona en x i en i via r² = x² + i², se seguix que:

$dx=\frac{rdr}{\sqrt{r^2-y^2}}.$

L'interval d'integració en r no passa per zero, i ya que abdós f(r) i l'expressió de dalt per a dx són funciones parells, podem escriure:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)dx,r=\sqrt{x^2+y^2}.$

Substituyendo l'expressió per adx en térmens de ri reescrivint els llímits d'integració acordemente, resulta la transformada d'Abel.

La transformada d'Abel pot estendre's a dimensions més altes. L'extensió a tres dimensions és de particular interés. Si tenim una funció de simetria axial f(ρ,z) a on ρ² = x² + i² és el radi cilíndric, llavors podríem voler saber la proyecció d'eixa funció sobre el pla paralel a l'eix z. Sense pèrdua de generalitat, podem triar el pla yz de manera que:

$F(y,z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\rho ,z)dx=2\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\rho ,z)\rho d\rho }{\sqrt{{\rho }^2-y^2}}$

la qual és just la transformada d'Abel de f(ρ,z) en ρ i i.

La simetria esfèrica és un tipo particular de simetria axial. En este cas, tenim la funció f(r) a on r² = x² + i² + z². La proyecció sobre, digam el pla yz, serà circularment simètrica i expressable com a F(s) a on s² = i² + z². Efectuant l'integració, tenim:

$F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)dx=2\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(r)rdr}{\sqrt{r^2-s^2}}$

la qual cosa és també la transformada d'Abel de f(r) en r i s.

Verificació de la transformada inversa d'Abel

Assumint que f és contínua i diferenciable en tot punt i que f, f' tendixen a zero més ràpit que 1/r, podem fer $u=f(r)$ i $v=\sqrt{r^2-y^2}$. Integrant per parts es tindrà:

$F(y)=-2\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{\prime }(r)\sqrt{r^2-y^2}dr.$

Diferenciant formalment,

$F^{\prime }(y)=2y\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f^{\prime }(r)}{\sqrt{r^2-y^2}}dr.$

Ara, substituyendo açò en la fòrmula de la transformada inversa d'Abel:

$-\frac{1}{\pi }\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{F^{\prime }(y)}{\sqrt{y^2-r^2}}dy=\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{-2y}{\pi \sqrt{(y^2-r^2)(s^2-y^2)}}{f}^{\prime }(s)dsdy.$

Pel Teorema de Fubini, l'última integral és igual a:

$\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{r}{\overset{s}{\int }}\frac{-2y}{\pi \sqrt{(y^2-r^2)(s^2-y^2)}}dy{f}^{\prime }(s)ds=\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(-1)f^{\prime }(s)ds=f(r).$

Referències

• Bracewell, R. (1965). The Fourier Transform and its Applications, Nova York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4.