Tor (geometria)

En geometria, un tor és un tipo concret de toroide que la seua superfície de revolució és generada per una circumferència que gira al voltant d'una recta exterior coplanaria (en el seu pla i que no la curta) o, llanament, la superfície tridimensional que resulta de fer girar una circumferència al voltant d'un eix que no la curta. La paraula «tor» prové del llatí torus, que significa «protuberància», «elevació curva» (relacionat en llatí sterno i grec στορέννυμι, romanizado storénnymi) i que ya en llatí adquirix sentits tècnics per a designar objectes en esta forma geomètrica específica, per eixemple en arquitectura (Vitr.3.3.8), a on designa el «bocel» o «murecillo», que és una moldura redonejada de la base, en forma de hogaza de pa. Molts objectes quotidians tenen forma de tor: una rosquilla, una cambra de neumàtic, etc.

Tor (geometria)

Un tor anular en una selecció de círculs en la seua superfície

A mida que disminuïx la distància a l'eix de revolució, el toroide anular es convertix en un toroide de banya, despuix en un toroide de huso i, finalment, degenera en una esfera de doble coberta.

Desenroll d'un tor.

Un toroide anular en relació d'aspecte 3, la relació entre els diàmetros del círcul major (magenta) i el menor (roig).

Geometria

Representació del tor en el sistema diédrico.

Geomètricament, es definix el tor com el subespacio de ${ℝ}^3$ definit per les equacions paramètriques

$\{\begin{array}{c}x=\cos \theta \cdot (R+r\cos \phi )\\ y=\mathrm{sen}\theta \cdot (R+r\cos \phi )\\ z=r\mathrm{sen}\phi \end{array}$

a on $R$ és el trayecte entre el centre del conducte i el centre del tor, $r$ és el radi del conducte, abdós constants en $r<R$ i a on $\theta ,\phi \in [0,2\pi )$ són ànguls que determinen el círcul complet. Pot demostrar-se per mig de l'us de cartes que el tor és una superfície regular.

L'equació en coordenades cartesianes d'un tor l'eix del qual és l'eix z és

${(R-\sqrt{x^2+y^2})}^2+z^2=r^2$

La superfície A i el volum V del tor poden trobar-se amprant el teorema de Papus d'Aleixandria. Els resultats són:

$A=4{\pi }^{2}Rr$

$V=2{\pi }^{2}R{r}^2$, a on $R$ és la distància de l'eix de revolució al centre d'una secció circular del tor i $r$ és el radi de dita secció.

$A={\pi }^{2}Dd$

$V=\frac{1}{4}{\pi }^{2}D{d}^2$ usant els respectius diàmetros :$D=2R,d=2r$

Topología

Un tor és el resultat del producte cartesià de dos circumferències, ${𝕊}^1\times {𝕊}^1$.

Topológicamente, el tor, que denotem per ${𝕋}^2$, és l'espai topològic definit com el producte cartesià de dos circumferències en la topología producte, açò és ${𝕊}^1\times {𝕊}^1$. Es pot comprovar que este espai resulta ser una superfície, i que ademés esta resulta ser tancada. En topología parlem de «el» tor i «un» tor de forma intercanviable, de la mateixa manera que sol fer-se en espais topològics quotidians; puix considerem que sempre que estigam parlant d'un espai homeomorfo a ${𝕊}^1\times {𝕊}^1$, estarem parlant del tor. És per tant important notar que, llevat homeomorfisme, existixen vàries formes distintes i equivalents de definir el tor. Es complix per supost que el tor definit geomètricament (definit per equacions paramètriques), entés com subespacio topològic de ${ℝ}^3$, és homeomorfo a ${𝕋}^2$.

Ademés, s'obté que, gràcies al teorema de classificació de superfícies tancades, el tor ${𝕋}^2$ és la superfície tancada orientable de gènero 1, per lo que és un superfície de notable importància en la topología.

El tor pot també descriure's com un cocient del pla euclidià baix l'identificació

$(x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1)$

També equivalentement, el tor pot ser definit com el cocient del quadrat unitat (açò és la regió convexa del pla ${ℝ}^2$ en vèrtiços (0,0), (1,0), (1,1) i (0,1)) generat per mig d'una identificació específica de les vores opostes. Esta identificació és, descrita com la seua polígon fonamental, $AB{A}^{-1}{B}^{-1}$.

El grup fonamental del tor és, per les propietats del grup fonamental, precisament el producte directe del grup fonamental de la circumferència per sí mateixa, és dir, es té:

${\pi }_1({𝕋}^2)\cong {\pi }_1({𝕊}^1)\times {\pi }_1({𝕊}^1)\cong \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.

Intuitivament, el que este grup siga abeliano significa que un llaç que rodeja primer el «forat» i despuix el «cos» del tor (abdós de circumferència en latitut concreta), es pot transformar en un camí que recórrega primer el «cos» i despuix el «forat». És dir, els camins estrictament meridionals i estrictament llongitudinals participen en operacions conmutativas.

El primer grup d'homologia del tor és isomorfo al seu grup fonamental; lloc que dit grup fonamental és abeliano.

Análogamente al tor, es definix el tor sòlit com l'espai topològic tridimensional obtingut per mig del producte cartesià d'un disc i una circumferència: $D^2\times {𝕊}^1$.