Teoria de la deformació infinitesimal

En mecànica de mijos continus, la teoria de la deformació infinitesimal és un enfocament matemàtic per a la descripció de la deformació de cossos sòlits en la que se supon que els desplaçaments de les partícules del material és molt més chicotet (de fet, infinitesimalmente més menut) que qualsevol valor rellevant de les dimensions del cos; de modo que es pot supondre que la seua geometria i les propietats constitutives del material (com densitat i rigidea) en cada punt de l'espai no canvien per efecte de la deformació.

En esta suposició, les equacions de la mecànica del continu se simplifiquen considerablement. Este enfocament també pot denominar-se teoria de les chicotetes deformacions, teoria dels menuts desplaçaments o teoria dels menuts desplaçaments-gradient. Es contrapon en la teoria de la deformació finita, en la que es fa la suposició oposta.

S'adopta comunament en ingenieria civil i mecànica per al anàlisis de tensions en estructures construïdes a partir de materials elàstics relativament rígits, com el formigó i l'acer, ya que un objectiu comú en el disseny de tals estructures és minimisar la seua deformació baixe les càrregues de disseny. No obstant, esta aproximació exigix precaució en el cas de cossos prims i flexibles, com a varetes, plaques i carcasses, que són susceptibles d'experimentar rotacions importants, lo que fa que els resultats no siguen fiables.

Tensor de deformacions infinitesimals

Per a deformacions infinitesimals d'un cos continu, en les que el tensor de gradient de desplaçament (tensor de segon orde) és chicotet en comparació a l'unitat, és dir, $\Vert \mathrm{\nabla }𝐮\Vert \ll 1$, és possible realisar una linealización geomètrica de qualsevol dels tensors de deformació finitos utilisats en la teoria de deformacions finitas, com en el cas del tensor de deformació finita lagrangiano $𝐄$ i del tensor de deformació finita euleriano $𝐞$. En tal linealización, es desprecien els térmens no llineals o de segon orde del tensor de deformació finito. Aixina, s'obté

$𝐄=\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮+({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮{)}^T+({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮{)}^T{\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮)\approx \frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮+({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮{)}^T)$

o

$E_{KL}=\frac{1}{2}(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}+\frac{\partial U_M}{\partial X_K}\frac{\partial U_M}{\partial X_L})\approx \frac{1}{2}(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K})$

i

$𝐞=\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮+({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮{)}^T-{\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮{)}^T)\approx \frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮+({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮{)}^T)$

o

$e_{rs}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_r}{\partial x_s}+\frac{\partial u_s}{\partial x_r}-\frac{\partial u_k}{\partial x_r}\frac{\partial u_k}{\partial x_s})\approx \frac{1}{2}(\frac{\partial u_r}{\partial x_s}+\frac{\partial u_s}{\partial x_r})$

Esta linealización implica que la descripció lagrangiana i la descripció euleriana són aproximadament iguals, ya que hi ha poca diferència en les coordenades materials i espacials d'un punt material dau en el continu. Per lo tant, les components del tensor de gradient de desplaçament del material i del tensor de gradient de desplaçament espacial són aproximadament iguals. En conseqüència,

$𝐄\approx 𝐞\approx 𝜺=\frac{1}{2}((\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T+\mathrm{\nabla }𝐮)$

o

$E_{KL}\approx e_{rs}\approx {\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$

a on ${\epsilon }_{ij}$ són les components del tensor de deformació infinitesimal $𝜺$, també cridat tensor de deformació de Cauchy, tensor de deformació llineal o tensor de chicotetes deformacions.

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{ij}& =\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2})& \frac{\partial u_2}{\partial x_2}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3})& \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\end{array}\right]\end{array}$

o usant una notació diferent:

$\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial u_x}{\partial x}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y})& \frac{\partial u_y}{\partial y}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z})& \frac{\partial u_z}{\partial z}\end{array}\right]$

Ademés, ya que el gradient de deformació es pot expressar com $𝑭=\mathrm{\nabla }𝐮+𝑰$, a on $𝑰$ és el tensor d'identitat de segon orde, es té que

$𝜺=\frac{1}{2}({𝑭}^T+𝑭)-𝑰$

Ademés, de l'expressió general per als tensors de deformació finita lagrangianos i eulerianos se seguix que

$\begin{array}{cc}{𝐄}_{(m)}& =\frac{1}{2m}({𝐔}^{2m}-𝑰)=\frac{1}{2m}[({𝑭}^T𝑭{)}^m-𝑰]\approx \frac{1}{2m}[\{\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T+𝑰{\}}^m-𝑰]\approx 𝜺\\ {𝐞}_{(m)}& =\frac{1}{2m}({𝐕}^{2m}-𝑰)=\frac{1}{2m}[(𝑭{𝑭}^T{)}^m-𝑰]\approx 𝜺\end{array}$

Deducció geomètrica

Archiu:2D geometric strain.svg

Figura 1. Deformació geomètrica bidimensional d'un element material infinitesimal

Considere's una deformació bidimensional d'un element material rectangular infinitesimal en dimensions $dx$ per $dy$ (Figura 1), que despuix de la deformació pren la forma d'un rombo. De la geometria de la Figura 1 es deduïx que

$\begin{array}{cc}\overline{ab}& =\sqrt{{(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx)}^2+{\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}dx\right)}^2}\\ & =dx\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+{\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)}^2}\\ \end{array}$

Per a gradient de desplaçament molt menuts, és dir, $\Vert \mathrm{\nabla }𝐮\Vert \ll 1$, es té que

$\overline{ab}\approx dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx$

La deformació llongitudinal en la direcció $x$ de l'element rectangular està definida per

${\epsilon }_x=\frac{\overline{ab}-\overline{AB}}{\overline{AB}}$

i sabent que $\overline{AB}=dx$, llavors

${\epsilon }_x=\frac{\partial u_x}{\partial x}$

De manera similar, la deformació llongitudinal en $y$-direction, i en $z$-direction, es torna

${\epsilon }_y=\frac{\partial u_y}{\partial y},{\epsilon }_z=\frac{\partial u_z}{\partial z}$

La deformació angular, o el canvi d'àngul entre dos llínees de material originalment ortogonals, en este cas les rectes $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$, es definix com

${\gamma }_{xy}=\alpha +\beta$

De la geometria de la Figura 1 es té que

$\tan \alpha =\frac{\frac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\frac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\frac{\partial u_x}{\partial x}},\tan \beta =\frac{\frac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\frac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\frac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\frac{\partial u_y}{\partial y}}$

Per a rotacions menudes, és dir, quan $\alpha$ i $\beta$ són $\ll 1$, es considera que

$\tan \alpha \approx \alpha ,\tan \beta \approx \beta$

i, novament, per a menuts gradient de desplaçament, es té que

$\alpha =\frac{\partial u_y}{\partial x},\beta =\frac{\partial u_x}{\partial y}$

i d'esta manera

${\gamma }_{xy}=\alpha +\beta =\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}$

En intercanviar $x$ i $y$ per un costat i $u_x$ i $u_y$ per un atre, es pot demostrar que ${\gamma }_{xy}={\gamma }_{yx}$.

De manera similar, per als plans $y$-$z$ i $x$-$z$, s'obté

${\gamma }_{yz}={\gamma }_{zy}=\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y},{\gamma }_{zx}={\gamma }_{xz}=\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}$

Es pot vore que les components de deformació tensorial de cort del tensor de deformació infinitesimal es poden expressar usant la definició de deformació amprada en ingenieria, $\gamma$, com

$\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\gamma }_{xy}/2& {\gamma }_{xz}/2\\ {\gamma }_{yx}/2& {\epsilon }_{yy}& {\gamma }_{yz}/2\\ {\gamma }_{zx}/2& {\gamma }_{zy}/2& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right]$

Interpretació física

De la teoria de la deformació finita es té que

$d{𝐱}^2-d{𝐗}^2=d𝐗\cdot 2𝐄\cdot d𝐗\text{or}(dx{)}^2-(dX{)}^2=2E_{KL}d{X}_{K}d{X}_L$

Per a deformacions infinitesimals, llavors se seguix que

$d{𝐱}^2-d{𝐗}^2=d𝐗\cdot 2𝜺\cdot d𝐗\text{or}(dx{)}^2-(dX{)}^2=2{\epsilon }_{KL}d{X}_{K}d{X}_L$

Dividint per $(dX{)}^2$

$\frac{dx-dX}{dX}\frac{dx+dX}{dX}=2{\epsilon }_{ij}\frac{d{X}_i}{dX}\frac{d{X}_j}{dX}$

Per a chicotetes deformacions s'assumix que $dx\approx dX$, per lo que el segon terme del costat esquerre es convertix en: $\frac{dx+dX}{dX}\approx 2$.

En conseqüència,

$\frac{dx-dX}{dX}={\epsilon }_{ij}{N}_i{N}_j=𝐍\cdot 𝜺\cdot 𝐍$

a on $N_i=\frac{d{X}_i}{dX}$, és el vector unitari en la direcció de $d𝐗$, i l'expressió del costat esquerre és la deformació normal $e_{(𝐍)}$ en la direcció de $𝐍$. Per al cas particular de $𝐍$ en la direcció $X_1$, és dir, $𝐍={𝐈}_1$, es té que

$e_{({𝐈}_1)}={𝐈}_1\cdot 𝜺\cdot {𝐈}_1={\epsilon }_{11}.$

De manera similar, per a $𝐍={𝐈}_2$ i $𝐍={𝐈}_3$ es poden trobar respectivament les deformacions normals ${\epsilon }_{22}$ i ${\epsilon }_{33}$. Per lo tant, els elements diagonals del tensor de deformacions infinitesimals són les deformacions normals en les direccions de les coordenades.

Regles de transformació de deformacions

Si s'elegix un Sistema en coordenades ortonormals (${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$) es pot escriure el tensor en térmens de components sobre els vectores de la base com

$𝜺=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\epsilon }_{ij}{𝐞}_i\otimes {𝐞}_j$

En forma matricial,

$\underset{\_}{\underset{\_}{𝜺}}=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{13}& {\epsilon }_{23}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right]$

Es pot optar fàcilment per utilisar un atre sistema de coordenades ortonormals (${\widehat{𝐞}}_1,{\widehat{𝐞}}_2,{\widehat{𝐞}}_3$). En eixe cas, les components del tensor són diferents, pose's per cas

$𝜺=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\hat{\epsilon }}_{ij}{\widehat{𝐞}}_i\otimes {\widehat{𝐞}}_j⟹\underset{\_}{\underset{\_}{\widehat{𝜺}}}=\left[\begin{array}{ccc}{\hat{\epsilon }}_{11}& {\hat{\epsilon }}_{12}& {\hat{\epsilon }}_{13}\\ {\hat{\epsilon }}_{12}& {\hat{\epsilon }}_{22}& {\hat{\epsilon }}_{23}\\ {\hat{\epsilon }}_{13}& {\hat{\epsilon }}_{23}& {\hat{\epsilon }}_{33}\end{array}\right]$

Les components de la deformació en els dos sistemes de coordenades estan relacionats per

${\hat{\epsilon }}_{ij}={\ell }_{ip}{\ell }_{jq}{\epsilon }_{pq}$

a on s'ha utilisat el conveni de suma d'Einstein per a índexs repetits i ${\ell }_{ij}={\widehat{𝐞}}_i\cdot {𝐞}_j$. En forma matricial

$\underset{\_}{\underset{\_}{\widehat{𝜺}}}=\underset{\_}{\underset{\_}{𝐋}}\underset{\_}{\underset{\_}{𝜺}}{\underset{\_}{\underset{\_}{𝐋}}}^T$

o

$\left[\begin{array}{ccc}{\hat{\epsilon }}_{11}& {\hat{\epsilon }}_{12}& {\hat{\epsilon }}_{13}\\ {\hat{\epsilon }}_{21}& {\hat{\epsilon }}_{22}& {\hat{\epsilon }}_{23}\\ {\hat{\epsilon }}_{31}& {\hat{\epsilon }}_{32}& {\hat{\epsilon }}_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\ell }_{11}& {\ell }_{12}& {\ell }_{13}\\ {\ell }_{21}& {\ell }_{22}& {\ell }_{23}\\ {\ell }_{31}& {\ell }_{32}& {\ell }_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}{\ell }_{11}& {\ell }_{12}& {\ell }_{13}\\ {\ell }_{21}& {\ell }_{22}& {\ell }_{23}\\ {\ell }_{31}& {\ell }_{32}& {\ell }_{33}\end{array}\right]}^T$

Invariantes de la deformació

Certes operacions sobre el tensor de deformacions donen el mateix resultat, tenint en conte qué sistema de coordenades ortonormals s'utilisa per a representar les components de la deformació. Els resultats d'estes operacions es denominen invariantes de la deformació. Les invariantes de la deformació més utilisades són

$\begin{array}{cc}{I}_1& =\mathrm{t}\mathrm{r}(𝜺)\\ I_2& =\frac{1}{2}\{[\mathrm{t}\mathrm{r}(𝜺){]}^2-\mathrm{t}\mathrm{r}({𝜺}^2)\}\\ I_3& =\det (𝜺)\end{array}$

En térmens de components

$\begin{array}{cc}{I}_1& ={\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}\\ I_2& ={\epsilon }_{11}{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{22}{\epsilon }_{33}+{\epsilon }_{33}{\epsilon }_{11}-{\epsilon }_{12}^2-{\epsilon }_{23}^2-{\epsilon }_{31}^2\\ I_3& ={\epsilon }_{11}({\epsilon }_{22}{\epsilon }_{33}-{\epsilon }_{23}^2)-{\epsilon }_{12}({\epsilon }_{21}{\epsilon }_{33}-{\epsilon }_{23}{\epsilon }_{31})+{\epsilon }_{13}({\epsilon }_{21}{\epsilon }_{32}-{\epsilon }_{22}{\epsilon }_{31})\end{array}$

Deformacions principals

Es pot demostrar que és possible trobar un sistema de coordenades (${𝐧}_1,{𝐧}_2,{𝐧}_3$) en el que les components del tensor de deformacions siguen

$\underset{\_}{\underset{\_}{𝜺}}=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_1& 0& 0\\ 0& {\epsilon }_2& 0\\ 0& 0& {\epsilon }_3\end{array}\right]⟹𝜺={\epsilon }_1{𝐧}_1\otimes {𝐧}_1+{\epsilon }_2{𝐧}_2\otimes {𝐧}_2+{\epsilon }_3{𝐧}_3\otimes {𝐧}_3$

Les components del tensor de deformacions en el sistema de coordenades (${𝐧}_1,{𝐧}_2,{𝐧}_3$) es denominen deformacions principals i les direccions ${𝐧}_i$ es denominen direccions de deformació principals. Ya que no hi ha components de deformació tallant en este sistema de coordenades, les deformacions principals representen els estiramientos màxim i mínim d'un volum elemental.

Si es dispon de les components del tensor de deformacions en un sistema de coordenades ortonormal arbitrari, es poden trobar les deformacions principals usant una descomposició en autovalores determinada resolent el sistema d'equacions

$(\underset{\_}{\underset{\_}{𝜺}}-{\epsilon }_i\underset{\_}{\underset{\_}{𝐈}}){𝐧}_i=\underset{\_}{\mathrm{𝟎}}$

Este sistema d'equacions equival a trobar el vector ${𝐧}_i$ en el que el tensor de deformació es convertix en un estiramiento pur sense component de cort.

Deformació volumètrica

La deformació volumètrica, també cridada deformació del material, és la variació relativa del volum que sorgix de la dilatació o de la compressió del sòlit somés a esforços mecànics; i és la primera invariante de deformació o la traça del tensor:

$\delta =\frac{\Delta V}{V_0}=I_1={\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}$

En realitat, si es considera una gaveta en una llongitut d'aresta a, és un cuasi-gaveta despuix de la deformació (les variacions dels ànguls no canvien el volum) en les dimensions $a\cdot (1+{\epsilon }_{11})\times a\cdot (1+{\epsilon }_{22})\times a\cdot (1+{\epsilon }_{33})$ i V₀ = a³, i per lo tant

$\frac{\Delta V}{V_0}=\frac{(1+{\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}+{\epsilon }_{11}\cdot {\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{11}\cdot {\epsilon }_{33}+{\epsilon }_{22}\cdot {\epsilon }_{33}+{\epsilon }_{11}\cdot {\epsilon }_{22}\cdot {\epsilon }_{33})\cdot a^3-a^3}{a^3}$

ya que es consideren chicotetes deformacions,

$1\gg {\epsilon }_{ii}\gg {\epsilon }_{ii}\cdot {\epsilon }_{jj}\gg {\epsilon }_{11}\cdot {\epsilon }_{22}\cdot {\epsilon }_{33}$

d'acort en la fòrmula anterior.

Variació real del volum (dalt) i aproximada (avall): el dibuix vert mostra el volum estimat i el taronja el volum despreciat

En el cas d'esforços tallants purs, es pot vore que no hi ha canvi de volum.

Tensor desviador de deformacions

El tensor de deformació infinitesimal ${\epsilon }_{ij}$, de manera similar al tensor de tensions, es pot expressar com la suma d'atres dos tensors:

1. Un tensor de deformació mig o tensor de deformació volumètric o tensor de deformació esfèric, ${\epsilon }_M{\delta }_{ij}$, relacionat en la dilatació o el canvi de volum; i
2. Un component desviador cridat tensor desviador de deformació, $\epsilon {\text{'}}_{ij}$, relacionat en la distorsió.

${\epsilon }_{ij}=\epsilon {\text{'}}_{ij}+{\epsilon }_M{\delta }_{ij}$

a on ${\epsilon }_M$ és la deformació mija donada per

${\epsilon }_M=\frac{{\epsilon }_{kk}}{3}=\frac{{\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}}{3}=\frac{1}{3}{I}_1^e$

El tensor de deformació desviador es pot obtindre restant el tensor de deformació mig del tensor de deformació infinitesimal:

$\begin{array}{cc}\epsilon {\text{'}}_{ij}& ={\epsilon }_{ij}-\frac{{\epsilon }_{kk}}{3}{\delta }_{ij}\\ \left[\begin{array}{ccc}\epsilon {\text{'}}_{11}& \epsilon {\text{'}}_{12}& \epsilon {\text{'}}_{13}\\ \epsilon {\text{'}}_{21}& \epsilon {\text{'}}_{22}& \epsilon {\text{'}}_{23}\\ \epsilon {\text{'}}_{31}& \epsilon {\text{'}}_{32}& \epsilon {\text{'}}_{33}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_M& 0& 0\\ 0& {\epsilon }_M& 0\\ 0& 0& {\epsilon }_M\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}-{\epsilon }_M& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}-{\epsilon }_M& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}-{\epsilon }_M\end{array}\right]\\ \end{array}$

Deformacions octaèdriques

Siguen (${𝐧}_1,{𝐧}_2,{𝐧}_3$) les direccions de les tres deformacions principals. Un pla octaèdric és aquell que la seua normal forma ànguls iguals en les tres direccions principals. La tensió de tall en un pla octaèdric es diu deformació per tall octaèdric i està donada per

${\gamma }_{\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{t}}=\frac{2}{3}\sqrt{({\epsilon }_1-{\epsilon }_2{)}^2+({\epsilon }_2-{\epsilon }_3{)}^2+({\epsilon }_3-{\epsilon }_1{)}^2}$

a on ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ són les deformacions principals.

La deformació normal en un pla octaèdric ve donada per

${\epsilon }_{\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{t}}=\frac{1}{3}({\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3)$

Deformació equivalent

Una cantitat escalar cridada deformació equivalent, o deformació equivalent de von Mises, s'utilisa a sovint per a descriure l'estat de deformació en sòlits. En la lliteratura es poden trobar vàries definicions de deformació equivalent. Una definició que s'usa comunament en la lliteratura sobre plasticidad és

${\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}=\sqrt{\frac{2}{3}{𝜺}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}}:{𝜺}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}}}=\sqrt{\frac{2}{3}{\epsilon }_{ij}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}}{\epsilon }_{ij}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}}};{𝜺}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}}=𝜺-\frac{1}{3}\mathrm{t}\mathrm{r}(𝜺)𝑰$

Esta cantitat és el treball conjugat en la tensió equivalent, definida com

${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}=\sqrt{\frac{3}{2}{𝝈}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}}:{𝝈}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}}}$

Equacions de compatibilitat

Artícul principal → Compatibilitat (mecànica).

Per a les components de deformació establides ${\epsilon }_{ij}$, l'equació del tensor de deformació $u_{i,j}+u_{j,i}=2{\epsilon }_{ij}$ representa un sistema de sis equacions diferencials per a la determinació de tres components de desplaçament $u_i$, lo que dona un sistema sobredeterminado. Per lo tant, generalment no existix una solució per a una elecció arbitrària de components de deformació. Per lo tant, s'imponen algunes restriccions, denominades equacions de compatibilitat, a les components de deformació. En la suma de les tres equacions de compatibilitat, el número d'equacions independents es reduïx a tres, igualant el número de les components de desplaçament desconegudes. Estes restriccions en el tensor de deformació varen ser descobertes per Saint-Venant i es denominen "Equacions de compatibilitat de Saint-Venant".

Les funcions de compatibilitat servixen per a assegurar una funció de desplaçament continu d'un sol valor $u_i$. Si el mig elàstic es visualisa com un conjunt de gavetes infinitesimals en estat no deformat, despuix de deformar el mig, un tensor de deformació arbitrari pugues no produir una situació en la que les gavetes distorsionades encara encaixen entre sí sense superpondre's.

En notació indexada, les equacions de compatibilitat s'expressen com

${\epsilon }_{ij,km}+{\epsilon }_{km,ij}-{\epsilon }_{ik,jm}-{\epsilon }_{jm,ik}=0$

En notació d'ingenieria, prenen la forma

• $\frac{{\partial }^2{ϵ}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_y}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}$
• $\frac{{\partial }^2{ϵ}_y}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_z}{\partial y^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yz}}{\partial y\partial z}$
• $\frac{{\partial }^2{ϵ}_x}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_z}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zx}}{\partial z\partial x}$
• $\frac{{\partial }^2{ϵ}_x}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z})$
• $\frac{{\partial }^2{ϵ}_y}{\partial z\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}-\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z})$
• $\frac{{\partial }^2{ϵ}_z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial z}(\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}-\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z})$