Teorema del quadrilàter de Euler

Archiu:Euler viereck.svg

$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2$

La teorema del quadrilàter de Euler o la llei de Euler sobre els quadrilàters, cridada aixina pel matemàtic suís Leonhard Euler (1707-1783), descriu una relació entre els costats d'un quadrilàter convexo i les seues diagonals. És una generalisació de la llei del paralelogramo, que a la seua volta pot vore's com una generalisació del teorema de Pitágoras. Per açò últim, la reformulación de la teorema de Pitágoras en térmens de quadrilàters es denomina en ocasions com la teorema de Euler-Pitágoras.

Teorema i casos especials

Per a un quadrilàter convexo en costats $a,b,c$ i $d$; diagonals $e$ i $f$; i sent $g$ el segment rectilíneo que conecta els punts mijos de les dos diagonals, es complixen les següents equacions:

$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2$

Si el quadrilàter és un paralelogramo, llavors els punts mijos de les diagonals coincidixen, de manera que el segment $g$ té llongitut 0. Ademés, els costats paralels són d'igual llongitut, i en conseqüència, el teorema de Euler es reduïx a:

$2a^2+2b^2=e^2+f^2$

expressió de la llei del paralelogramo.

Si el quadrilàter és un rectàngul, l'equació se simplifica encara més, ya que en este cas les dos diagonals també tenen la mateixa llongitut:

$2a^2+2b^2=2e^2$

En dividir entre 2 s'obté la teorema de Euler-Pitágoras:

$a^2+b^2=e^2$

En atres paraules, en el cas d'un rectàngul, la relació dels costats del quadrilàter i les seues diagonals es descriu per mig de la teorema de Pitágoras.

Formulació alternativa i extensions

Archiu:Euler theorem quadrilateral.svg

Teorema de Euler en un paralelogramo

Euler originalment va deduir la teorema anterior com corolari d'una teorema llaugerament diferent, que requerix l'introducció d'un punt adicional, pero proporciona una visió més estructural.

Per a un quadrilàter convexo dau $ABCD$, Euler va introduir un punt adicional $E$, tal que $ABED$ forma un paralelogramo, i llavors es complix la següent igualtat:

$|AB{|}^2+|BC{|}^2+|CD{|}^2+|AD{|}^2=|AC{|}^2+|BD{|}^2+|CE{|}^2$

La distància $|CE|$ entre el punt adicional $E$ i el punt $C$ del quadrilàter que no forma part del paralelogramo, es pot interpretar com una mida de lo que es desvia el quadrilàter d'un paralelogramo, i $|CE{|}^2$ és un terme de correcció que deu agregar-se a l'equació original de la llei del paralelogramo.

Sent $M$ el punt mig de $AC$, llavors $\frac{|AC|}{|AM|}=2$ . Ya que $N$ és el punt mig de $BD$, també és el punt mig de $AE$, ya que $AE$ i $BD$ són abdós diagonals del paralelogramo $ABED$. Açò implica que $\frac{|AE|}{|AN|}=2$ i per lo tant, $\frac{|AC|}{|AM|}=\frac{|AE|}{|AN|}$ . D'este fet se seguix d'acort en el teorema de intercepción (i el seu invers) que $CE$ i $NM$ són paralels, i que per lo tant, $|CE{|}^2=(2|NM|{)}^2=4|NM{|}^2$, expressió de la teorema de Euler.

La teorema de Euler es pot estendre a un conjunt més gran de quadrilàters, que inclou els creuats i els alabeados. És vàlit per als cridats quadrilàters generalisats, que consistixen simplement en quatre punts arbitraris en ${ℝ}^n$ conectats per arestes per a que formen el grafo d'un cicle.

Bibliografia

• Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: The Edge of the Universe: Celebrating Tingues Years of Math Horizons . MAA, 2006 ISBN 9780883855553, págs. 137–139
• Lokenath Debnath: el llegat de Leonhard Euler: un tribut tricentenario . World Scientific, 2010, ISBN 9781848165267, págs. 105-107
• C. Edward Sandifer: Cóm ho va fer Euler . MAA, 2007 ISBN 9780883855638, págs. 33–36
• Geoffrey A. Kandall: Teorema de Euler per a quadrilàters generalisats . The College Mathematics Journal, vol. 33, núm. 5 (novembre de 2002), págs.   403–404 ( JSTOR )
• Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen . Springer, 2013, ISBN 9783642376122, pág. 418