Teorema de no clonació

En física, la teorema de no clonat o teorema de no clonació declara que és impossible crear una còpia idèntica d'un estat quàntic desconegut arbitrari. Este teorema d'impossibilitat de la mecànica quàntica va ser formulat per Wootters i Zurek i Dieks en 1982, i té profundes implicacions en la computació quàntica i àrees d'estudi relacionades.

No existix operador unitari
$U$
actuant sobre
$ℋ_{A} \otimes ℋ_{B}$
de manera que para tots els estats normalisats
$| ψ ⟩_{A}$
i
$| e ⟩_{B}$
en
$ℋ$
complixquen que

$U | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B} = | ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B}$

Història

Una de les metes de l'informació i la computació quàntica és desenrollar ferramentes que milloren l'intuïció sobre la mecànica quàntica. A principis de 1980, es va qüestionar la possibilitat d'usar efectes quàntics per a obtindre velocitats majors a la de la llum. La resolució d'este problema va acabar convertint-se en la pregunta de si era possible clonar/copiar un estat quàntic desconegut.

Segons Asher Peres i David Kaiser, la publicació de la prova de la teorema de no clonació de Wootters, Zurek i Dieks en 1982 va ser sugerida per una proposta de Nick Herbert per a un dispositiu de comunicació superluminal que utilisa entrelazamiento quàntic. La simplicitat de la seua demostració va sorprendre a la comunitat científica, que no entenia cóm va poder passar inadvertit a tantes generacions de físics, sobretot per les seues implicacions i els grans esforços d'investigació en esta temàtica que, a lo llarc de la segona mitat de el XX, es va portar a terme per una gran cantitat de científics.^[1]^[2]

Teorema i demostració

Existixen vàries demostracions a la teorema, una d'elles seria la següent:^[1]^[3] Se supon que tenim dos sistemes quàntics A i B en un espai de Hilbert comú $ℋ_{A} = ℋ_{B} = ℋ$ . Es vol copiar l'estat $| ψ ⟩_{A} \in ℋ_{A}$ , del com no tenim coneiximent previ, en un estat quàntic del sistema B, cridat “inicial” o “buit” $| e ⟩_{B} \in ℋ_{B}$ , independent de $| ψ ⟩_{A}$ . L'estat combinat del sistema compost està descrit pel producte tensorial $ℋ_{A} \otimes ℋ_{B}$ :

$| ψ ⟩_{A} \otimes | e ⟩_{B} \equiv | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B}$

En realisar una mida o observació, el sistema colapsa de forma irreversible a un autoestado d'un observable, la qual cosa corrompe l'informació que estava continguda en el qubit. Este no és el resultat desijat.

No obstant, el fet de realisar una còpia d'un estat significa que hi haurà una transformació unitària $U$ tal que:

$U | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B} = | ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B}$

i com l'estat d'és arbitrari, deu complir també que per a un estat $| ϕ ⟩_{A}$ :

$U | ϕ ⟩_{A} | e ⟩_{B} = | ϕ ⟩_{A} | ϕ ⟩_{B}$

Per un costat, prenent ara el producte escalar de les expressions:

$(⟨ ϕ |_{A} ⟨ e |_{B} U^{†}) (U | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B}) = (⟨ ϕ |_{A} ⟨ ϕ |_{B}) (| ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B}) = (⟨ ϕ | ψ ⟩)^{2}$

I per un atre costat, tenint en conte que $U^{†} U = I$ , ya que $U$ és unitari, i que els estats estan normalisats $⟨ e | e ⟩ = 1$ :

$(⟨ ϕ |_{A} ⟨ e |_{B} U^{†}) (U | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B}) = ⟨ ϕ |_{A} ⟨ e |_{B} | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B} = ⟨ ϕ | ψ ⟩$

Per lo tant, seguint els dos camins igualment possibles i vàlits, s'aplega a l'expressió:

$⟨ ϕ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | ψ ⟩)^{2}$

Lo que implica o be que $| ψ ⟩ = | ϕ ⟩$ , després l'estat no pot ser arbitrari; o be $⟨ ϕ | ψ ⟩ = 0$ , que és el cas particular d'estats ortogonals i no ocorre en general per a estats arbitraris. És dir, solament es pot copiar estats que siguen ortogonals en un resultat fiable. Per tant, no podem amprar un $U$ universal per a clonar un estat quàntic arbitrari.

Per tant, la teorema:

No existix operador unitari
$U$
actuant sobre
$ℋ_{A} \otimes ℋ_{B}$
de manera que para tots els estats normalisats
$| ψ ⟩_{A}$
i
$| e ⟩_{B}$
en
$ℋ$
complixquen que

$U | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B} = | ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B}$

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 (9 de decembre de 2010) Quàntum Computation and Quàntum Information: 10th Anniversary Edition, Cambridge University Press, p. 532. ISBN 978-1-139-49548-6.
↑ (1970).Foundations of Physics.1
23–33.doi:10.1007/BF00708652.
↑ Homeister, Matthias (2005). Quàntum Computing vertehen, Wiesbaden: Vieweg.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de no clonación» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[NielsenChuang2010-1] 1,0 ^1,1 (9 de decembre de 2010) Quàntum Computation and Quàntum Information: 10th Anniversary Edition, Cambridge University Press, p. 532. ISBN 978-1-139-49548-6.

[park-2] (1970).Foundations of Physics.1
23–33.doi:10.1007/BF00708652.

[:069-3] Homeister, Matthias (2005). Quàntum Computing vertehen, Wiesbaden: Vieweg.

[1]

[2]

[3]