Teorema de Lucas

Per a la teorema d'anàlisis complex vore Teorema de Gauss-Lucas.

En teoria de números, la teorema de Lucas caracterisa el residu del coeficient binomial $(\binom{m}{n})$ quan este és dividit per un número primo $p$ . Va ser enunciat per primera volta en 1878 en una publicació del matemàtic Édouard Lucas, encara que no va demostrar el resultat.^[1]^[2] La teorema de Lucas té moltes aplicacions, com explicar la naturalea fractal dels coeficients binomiales mòdul $p$ .^[3]

Enunciat

Siguen $m$ i $n$ número entero no negatius i $p$ un número primo. Llavors, tenim la següent relació de congruència:

(\binom{m}{n}) \equiv \prod_{i = 0}^{k} (\binom{m_{i}}{n_{i}}) (\mod p),

a on

m = m_{k} p^{k} + m_{k - 1} p^{k - 1} + \dots + m_{1} p + m_{0},

i

n = n_{k} p^{k} + n_{k - 1} p^{k - 1} + \dots + n_{1} p + n_{0}

són les expansions de $m$ i $n$ en base $p$ . S'utilisa la convenció que $(\binom{m}{n}) = 0$ si $m < n$ .

Demostració

La teorema de Lucas té distintes demostracions, pero una prova clàssica seguix el següent esquema:

Primer, es demostra que $(\binom{p}{k}) \equiv 0 (mod p)$ a menos que $k = 0$ o $k = p$ .
Després, es pot demostrar que $(\binom{p + r}{k}) \equiv (\binom{r}{k (mod p)}) (mod p)$ per a $0 \leq r \leq p - 1$ .
Després, es pot demostrar que $(\binom{2 p}{p}) \equiv 2 (mod p)$ .
Es pot demostrar la següent relació $(\binom{m_{1} p + m_{0}}{n_{1} p + n_{0}}) \equiv (\binom{m_{1}}{n_{1}}) (\binom{m_{0}}{n_{0}}) (mod p)$ , específicament si es pren $a_{0} = 0$ i després s'utilisa l'argument de recursión per a la fòrmula general.
Utilisant inducció, si $m = m_{k} p^{k} + m_{k - 1} p^{k - 1} + \dots + m_{1} p + m_{0}$ i $n = n_{k} p^{k} + n_{k - 1} p^{k - 1} + \dots + n_{1} p + n_{0}$ , es conclou $(\binom{m}{n}) \equiv \prod_{i = 0}^{k} (\binom{m_{i}}{n_{i}}) (mod p)$ .

Referències

↑ «Théorie dones functions numériques simplement périodiques».
↑ «LUCAS’S THEOREM: A GREAT THEOREM».
↑ Kumanduri, Ramanujachary (1998). «Modular Arithmetic», Number Theory with Computer Applications, Prentice Hall.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Lucas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «Théorie dones functions numériques simplement périodiques».

[2] «LUCAS’S THEOREM: A GREAT THEOREM».

[:0-3] Kumanduri, Ramanujachary (1998). «Modular Arithmetic», Number Theory with Computer Applications, Prentice Hall.

[1]

[2]

[3]