Teorema de Gelfand-Naimark

En matemàtiques, la teorema de Gelfand-Naimark establix que una C*-àlgebra A arbitrària és isométricamente *-isomorfa a una C*-subálgebra d'operadors acotats en un espai de Hilbert. Este resultat va ser provat per Israel Gelfand i Mark Naimark en 1943 i va anar un punt significatiu en el desenroll de la teoria de les àlgebra C* ya que va establir la possibilitat de considerar un àlgebra C* com una entitat algebraica abstracta sense referència a realisacions particulars. com àlgebra d'operadors.

Detalls

La representació de Gelfand-Naimark π és la suma directa de representacions π _f de A a on f comprén el conjunt d'estats purs d'i π _f és la representació irreducible associada a f per la construcció GNS. Aixina, la representació de Gelfand-Naimark actua sobre la suma directa de Hilbert dels espais de Hilbert H _f per

$\pi (x)[\underset{f}{⨁}{H}_f]=\underset{f}{⨁}{\pi }_f(x)H_f.$

π( x ) és un operador llineal acotat ya que és la suma directa d'una família d'operadors, cada u dels quals té norma ≤ || x ||.

Teorema. La representació de Gelfand-Naimark d'un àlgebra C* és una representació isomètrica*.

Basta mostrar que el mapa π és inyectivo, ya que per a *-morfismos de àlgebra C* inyectivo implica isomètric. Siga x un element distint de zero de A. Segons el teorema d'extensió de Kerin para funcionals llineals positius, existix un estat f en A tal que f (z) ≥ 0 per a tots els z no negatius en A i f ( − x * x) < 0. Considere la representació GNS π _f en un vector cíclico ξ. Des de

$\begin{array}{cc}\Vert {\pi }_f(x)\xi {\Vert }^2& =⟨{\pi }_f(x)\xi \mid {\pi }_f(x)\xi ⟩=⟨\xi \mid {\pi }_f(x^{*}){\pi }_f(x)\xi ⟩\\ & =⟨\xi \mid {\pi }_f(x^{*}x)\xi ⟩=f(x^{*}x)>0,\end{array}$

es deduïx que π _f (x) ≠ 0, llavors π (x) ≠ 0, llavors π és inyectivo.

La construcció de la representació de Gelfand-Naimark depén únicament de la construcció GNS i, per lo tant, és significativa per a qualsevol àlgebra A de Banach * que tinga una identitat aproximada. En general (quan A no és un àlgebra C*) no serà una representació fidel. El tancament de l'image de π( A ) serà un àlgebra C* d'operadors anomenada àlgebra envolvente C* de A. De manera equivalent, podem definir l'àlgebra envolvente C* de la següent manera: Definir una funció en valor real en A per mig de

$\Vert x{\Vert }_{{\mathrm{C}}^{*}}=\underset{f}{\sup }\sqrt{f(x^{*}x)}$

com a f comprén estats purs de A. Esta és una seminorma, a la que nos referim com seminorma C* de A. El conjunt I d'elements de A que la seua seminorma és 0 forma un ideal bilateral en A tancat baix involució. Per tant, l'espai vectorial cocient A / I és un àlgebra involutiva i la norma

$\Vert \cdot {\Vert }_{{\mathrm{C}}^{*}}$

factors a través d'una norma en A / I, que, llevat per la seua integritat, és una norma C* en A / I (a voltes se'ls crida normes pre-C*). Prendre la finalisació de A / I en relació en esta norma anterior a C* produïx un àlgebra C* B.

Per mig del teorema de Krein-Milman es pot demostrar sense massa dificultat que per a x un element del àlgebra A de Banach * té una identitat aproximada:

$\underset{f\in \mathrm{State}(A)}{\sup }f(x^{*}x)=\underset{f\in \mathrm{PureState}(A)}{\sup }f(x^{*}x).$

D'això es deduïx que una forma equivalent per a la norma C* en A és prendre el suprem anterior sobre tots els estats.

La construcció universal també s'utilisa per a definir àlgebra C* universals d'isometría.

Observació. La representació de Gelfand o isomorfisme de Gelfand per a un àlgebra C* conmutativa en unitat $A$ és un *-isomorfisme isomètric de $A$ a l'àlgebra de funcions contínues de valors complexos en l'espai de funcionals llineals multiplicativos, que en el cas conmutativo són precisament els estats purs, de A en la topología dèbil*.

Vore també

• Construcció GNS
• Teorema d'factorización de Stinespring
• Teorema de Gelfand-Raikov
• Operador koopman
• Dualitat Tannaka-Krein

Referències

• (1943).Mat. Sbornik.12(2)

197–217. (also available from Google Books)

• Dixmier (1969). Els C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars. ISBN 0-7204-0762-1., also available in English from North Holland press, see in particular sections 2.6 and 2.7.
• Eisner, Tanja; Farkas, Bálint; Haase, {{{nom3}}}; Nagel, {{{nom4}}} (2015). «The ${\mathrm{C}}^{*}$-Algebra C(K) and the Koopman Operator», Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory, Springer, pp. 45–70. doi:10.1007/978-3-319-16898-2_4. ISBN 978-3-319-16897-5.