Teorema de Dini

En anàlisis matemàtic, la teorema de Dini afirma que si una successió monòtona de funcions contínues convergix puntualment en un espai compacte i la funció llímit és també contínua, la convergència és uniforme.^[1]

Enunciat formal

Si $X$ és un espai topològic compacte, i ${f_{n}}$ és una successió monòtonament creixent (açò és, $f_{n} (x) \leq f_{n + 1} (x)$ para tot $n$ i $x$ ) de funcions reals contínues en $X$ que convergix puntualment a una funció contínua $f$ , llavors la convergència és uniforme. La mateixa afirmació es complix si ${f_{n}}$ és monòtonament decreixent en lloc de creixent. La teorema rep el seu nom per Ulisse Dini.^[2]

Est és un dels pocs casos en matemàtiques a on la convergència puntual implica convergència uniforme. La clau del resultat és el major control que implica la monotonia. Note's també que la funció llímit ha de ser contínua, ya que el llímit uniforme de funcions contínues és necessàriament continu.

Demostració

Siga $ϵ > 0$ qualsevol pero fix. Per a cada $n$ , siga $g_{n} = f - f_{n}$ , i siga $E_{n}$ el conjunt dels $x \in X$ tals que $g_{n} (x) < ϵ$ . Cada $g_{n}$ és contínua, i per tant cada $E_{n}$ és obert (ya que cada $E_{n}$ és la preimagen d'un conjunt obert baix $g_{n}$ , una funció contínua no negativa). Ya que ${f_{n}}$ és monòtonament creixent, ${g_{n}}$ és monòtonament decreixent, per lo que la successió $E_{n}$ és ascendent. Ya que $f_{n}$ convergix puntualment a $f$ , se seguix que la colecció ${E_{n}}$ és un recobriment obert de $X$ . Per compacidad, existix un subrecubrimiento finito, i ya que els $E_{n}$ són ascendents el major d'estos és també un recobriment. Per tant, obtenim que existix un sancer no negatiu $N$ tal que $E_{N} = X$ . Açò és, si $n > N$ i $x$ és un punt en $X$ , llavors $| f (x) - f_{n} (x) | < ϵ$ , com es buscava demostrar.

Notes

↑ Edwards, 1994.Friedman, 2007.Greus, 2009.Thomson, Bruckner y Bruckner, 2008.
↑ D'acort a Edwards, 1994, «[Esta teorema] es diu teorema de Dini perque Ulisse Dini (1845-1918) va presentar la versió original en el seu llibre sobre teoria de funcions de variable real, publicat en Chafa en 1878».

Referències

Bartle, Robert G. i Sherbert Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis, 3.ª edició, Wiley, pág. 238.
Edwards (1994). Advanced Calculus of Several Variables, Mineola, Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2.
Greus, Lawrence Murray (2009). The theory of functions of real variables, Mineola, Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47434-2.
Friedman (2007). Advanced calculus, Mineola, Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45795-6.
Jost, Jürgen (2005) Postmodern Analysis, 3.ª edició, Springer. Vore la Teorema 12.1 en la pàgina 157 per al cas monòtonament creixent.
Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, 3.ª edició, McGraw–Hill. Vore la Teorema 7.13 en la pàgina 150 per al cas monòtonament decreixent.
Thomson; Bruckner, {{{nom2}}}; Bruckner, {{{nom3}}} (2008). Elementary Real Analysis, ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Dini» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Edwards, 1994.Friedman, 2007.Greus, 2009.Thomson, Bruckner y Bruckner, 2008.

[2] D'acort a Edwards, 1994, «[Esta teorema] es diu teorema de Dini perque Ulisse Dini (1845-1918) va presentar la versió original en el seu llibre sobre teoria de funcions de variable real, publicat en Chafa en 1878».

[1]

[2]