Teorema de Cayley

La teorema de Cayley és un resultat de teoria de grups que permet representar qualsevol grup com un grup de permutació.

Tot grup és isomorfo a un subgrup d'un grup simètric. Si el grup és finito i té orde n, llavors és isomorfo a un subgrup de $S_{n}$ .

Cayley

Història

Encara que ara semble prou elemental, en la seua época les definicions modernes no existien i quan Cayley va introduir lo que ara es denomina grup, no va quedar clar de colp i repent que això era equivalent als grups prèviament coneguts, que ara es diuen grups de permutació. La teorema de Cayley va unificar abdós.

Encara que Burnside^[1] va atribuir la teorema a Camille Jordan,^[2] Eric Nummela,^[3] no obstant, va argumentar que el nom estàndar —"Teorema de Cayley"— és de fet apropiat. El matemàtic britànic Arthur Cayley (1821-1895), en el seu artícul original de 1854,^[4] va demostrar que la correspondència en la teorema era biunívoca, pero no va poder demostrar explícitament que fora un homomorfisme (i per lo tant un isomorfisme). No obstant, Nummela senyala que Cayley va fer que este resultat fora conegut per la comunitat matemàtica setze anys abans de Jordan.

Demostració

Siga $G$ un grup i g un element d'este grup. Es definix l'aplicació $t_{g}$ de $G$ en $G$ com la translació a l'esquerra:

\forall x \in G t_{g} (x) = g x

.

l'asociatividad de la llei de grups confirma que:

(⋆) \forall g, h \in G t_{g h} = t_{g} \circ t_{h}

.

Es deduïx en particular que $t_{g}$ és una permutació (biyección) d'inversa (també biyectiva) $t_{g^{- 1}}$ , lo que permet definir una aplicació $φ$ del grup $G$ en el grup $S (G)$ (el grup de permutació o biyecciones $G \to G$ en l'operació de la composició) per:

\forall g \in G φ (g) = t_{g}

Per $(⋆)$ , $φ$ és un homomorfisme de grups.

Per tant, l'image de $φ$ , notada Im( $φ$ ), és un subgrup de $S (G)$ .

Demostrem que $φ$ és inyectiva. Per a això es consideren $g$ i $h$ dos elements del grup. Si suponem que les seues imàgens $t_{g}$ i $t_{h}$ són iguals, llavors les imàgens del element neutre per abdós també són iguals i, per definició de $t_{g}$ i $t_{h}$ , $g$ té que ser igual a $h$ . Açò prova que l'aplicació és efectivament inyectiva.

L'aplicació $φ$ en Im( $φ$ ) que a tot element $g$ de $G$ associa $φ (g)$ és llavors també un homomorfisme inyectivo. Ademés és sobreyectivo per construcció, i per tant un isomorfisme de grups. Aixina que, G és isomorfo a Im( $φ$ ), un subgrup de $S (G)$ (Im( $φ$ )< $S (G)$ ). $◻$

Notes

↑ (1911).«Theory of Groups of Finite Order».Cambridge:
↑ (1870).«Traite dones substitutions et dones equations algebriques».Gauther-Villars.Paris:
↑ (1980).«Cayley's Theorem for Topological Groups».American Mathematical Monthly.Mathematical Association of America.87(3)
202–203.doi:10.2307/2321608.
↑ (1854).«On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1».Philosophical Magazine.7(42)
40–47.

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Cayley» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (1911).«Theory of Groups of Finite Order».Cambridge:

[2] (1870).«Traite dones substitutions et dones equations algebriques».Gauther-Villars.Paris:

[3] (1980).«Cayley's Theorem for Topological Groups».American Mathematical Monthly.Mathematical Association of America.87(3)
202–203.doi:10.2307/2321608.

[4] (1854).«On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1».Philosophical Magazine.7(42)
40–47.

[1]

[2]

[3]

[4]