Tensor de Bel-Robinson

En la relativitat general i en la geometria diferencial, el tensor de Bel-Robinson està definit en la notació d'índexs abstracta per:

$T_{abcd}=C_{aecf}{C}_b{}^e{}_d{}^f+\frac{1}{4}{ϵ}_{ae}{}^{hi}{ϵ}_b{}^{ej}{}_k{C}_{hicf}{C}_j{}^k{}_d{}^f$

Alternativament,

$T_{abcd}=C_{aecf}{C}_b{}^e{}_d{}^f-\frac{3}{2}{g}_{a[b}{C}_{jk]cf}{C}^{jk}{}_d{}^f$

a on $C_{abcd}$ és el tensor de Weyl. Va ser introduït per Lluís Bel en 1959. El tensor de Bel-Robinson es construïx a partir del tensor de Weyl de forma anàloga a la forma en que el tensor d'energia-impulse electromagnètic es construïx a partir del tensor de camp electromagnètic. De la mateixa manera que el tensor electromagnètic de tensió-energia, el tensor de Bel-Robinson és totalment simètric i carix de traça:

$\begin{array}{cc}{T}_{abcd}& =T_{(abcd)}\\ T^a{}_{acd}& =0\end{array}$

En la relativitat general, no existix una definició única de l'energia local del camp gravitatorio. El tensor de Bel-Robinson és una possible definició d'energia local, ya que es pot demostrar que sempre que el tensor de Ricci desapareix (és dir, en el buit), el tensor de Bel-Robinson no té divergència:

${\mathrm{\nabla }}^a{T}_{abcd}=0$

Propietats

• El tensor de Bel-Robinson és completament simètric (és invariante respecte a l'intercanvi d'índexs).
• El seu traça (calculada respecte a qualsevol parell d'índexs, ya que el tensor és simètric) és nula:

$T^a{}_{acd}=0$,

• En el buit, és dir quan el tensor de curvatura és zero, la divergència del tensor és zero:

$D^a{T}_{abcd}=0$.

• La composició temporal del tensor, és dir, la cantitat $T_{abcd}{u}^a{u}^b{u}^c{u}^d$, o o és la cuadrivelocidad d'un observador, és positiva o nula, evocant a una densitat d'energia.