Taula de Young
En matemàtiques, una taula de Young és un objecte combinatori relacionat en la teoria de representacions i funcions simètriques. Les taules deuen el seu nom al matemàtic anglés Alfred Young,[1][2] qui les va estudiar en 1900 i que varen anar després usades per Georg Frobenius per a estudiar el grup simètric.
Les taules de Young estan estretament relacionades en les representacions de grups, especialment de grups llineals i simètrics. Són objecte d'estudi en l'àrea de la combinatoria algebraica.
Diagrama de Young
Per a poder definir una taula de Young, cal definir primer un diagrama de Young, també cridat diagrama de Ferrers, una disposició de caselles colocades per files de modo que cada fila té una cantitat menor o igual de caselles que la fila anterior. D'esta forma, llistar el número de caselles en cada fila proporciona una successió (débilmente) decreixent de sancers positius, és dir una partició λ de n, el número total de caselles.
Donat un diagrama de Young D, la partició obtinguda llistant el número de caselles de cada fila es coneix com a forma del diagrama. De manera inversa, donada una partició λ és possible construir el diagrama corresponent a λ, per lo que sol establir-se una identificació entre els diagrames i les seues formes.
Quan es llisten les columnes d'un diagrama de Young també s'obté una partició μ anomenada partició conjugada de λ, lo que se simbolisa com μ=λ'. El diagrama de forma λ' s'obté reflectint el diagrama de forma λ sobre la diagonal principal.
La forma descrita de representar les particions (iniciant en la part superior i decreixent cap a avall) es coneix com la forma anglesa, i en esta, les caselles s'indiquen de forma similar a una matriu. No obstant, en els països de parla francesa solen representar-se en la major fila en la part inferior, decreixent cap a dalt. En esta convenció, les caselles es nomenen de forma similar a coordenades cartesianas (encara que llistant primer l'eix vertical), rebent esta convenció el nom de forma francesa.
Quan en lloc de caselles s'usen punts, el diagrama es coneix com a Diagrama de Ferrers
Taula de Young
Si dk és el número de voltes que apareix el sancer k en omplir la taula i j és el major sancer que apareix en la taula, el contingut de la taula és el vector (d1, d2, ..., dj), el qual no necessàriament és una partició.
Un omplit d'una taula de Young s'obté colocant un sancer positiu en cada casella d'un diagrama de Young.
Una taula de Young és un omplit en el que les files són débilmente creixents mentres que les columnes són estrictament decreixents. Una taula que satisfà eixes condicions es denomina també taula de Young semiestándar, quan es vol diferenciar d'atres formes d'omplit més específiques.
Quan una taula de Young en n caselles és omplida en els números 1,2,3,...,n (sense repetir), rep el nom de taula de Young estàndar. De forma equivalent, una taula de Young estàndar és una taula semiestándar el contingut de la qual és (1, 1, ..., 1).
Les definicions anteriors també tenen sentit si s'usen elements d'un conjunt totalment ordenat (per a poder comparar «major» i «menor»), encara que rara volta es consideren diagrames les caselles dels quals no es reblixen en sancers positius.
A diferència dels diagrames, en els que transponer (reflectir respecte a la diagonal) dona orige a un nou diagrama, en les taules açò usualment no és possible. No obstant, en el cas especial de taules de Young estàndar, el resultat de reflectir respecte a la diagonal és novament una taula de Young estàndar la forma del qual és conjugada respecte a la forma de l'original.
Taula de Young biaixada
Un diagrama de Young biaixat consistix en un diagrama de Young al que se li borra un diagrama de Young més menut. Si el diagrama de Young major té forma λ i el menor té forma μ, llavors la forma del diagrama biaixat es denota per λ/μ.
Una taula de Young biaixada és llavors l'omplit d'un diagrama biaixat de manera que les files siguen débilmente decreixents i les columnes estrictament creixents.
Les taules de Young biaixades són generalisacions de les taules de Young, ya que estes últimes s'obtenen quan μ és un diagrama buit.
Referències
- ↑ (1973).«The Art of Computer Programming, Vol. III: Sorting and Searching».Addison-Wesley..
- ↑ (1900).«On quantitative substitutional analysis».Proceedings of the London Mathematical Society.33(1)
- 97–145.doi:10.1112/plms/s1-33.1.97.. Vore en particular p. 133.
Bibliografia
Referències
- Este artícul conté una traducció derivada de «Tabla de Young» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.