Submuestreo

En el processament de senyal digital, submuestreo, compressió i diezmado són térmens associats en el procés de remuestreo en un sistema de processament de senyal digital de velocitat múltiple. Tant el submuestreo com el diezmado poden ser sinònims de compressió, o poden descriure un procés complet de reducció del ample de banda (filtrat) i reducció de la freqüència de mostreig. Quan el procés es realisa en una seqüència de mostres d'una senyal o una atra funció contínua, produïx una aproximació de la seqüència que s'hauria obtingut al muestrear la senyal a una velocitat menor (o densitat, com en el cas d'una fotografia).

Diezmado és un terme que històricament significa l'extracció de cada dècima part. Pero en processament de senyal, significa mantindre solament la dècima mostra. Este factor multiplica l'interval de mostreig o, de manera equivalent, dividix la freqüència de mostreig. Per eixemple, si l'àudio d'un disc compacte, processat a raó de 44 100 mostres/segon, és diezmado en un factor de 5/4, la freqüència de mostreig resultant és de 35 280. Un component del sistema que realisa el diezmado es denomina diezmador. El diezmado per un factor sancer també es diu compressió.

Submuestreo per un factor sancer

La reducció de la taxa de mostreig per un factor sancer M pot ser explicada com a procés de dos passos, en una implementació equivalent que és més eficaç:

1. Reduïx els components de senyal d'alta freqüència en un filtre pas baix digital.
2. Diezmar la senyal filtrada per M; açò és, mantindre solament cada M-ésima mostra.

El pas 2 solament permet que els components de senyal d'alta freqüència siguen malinterpretados pels usuaris posteriors de les senyes, lo que és una forma de distorsió anomenada aliasing. El pas 1, quan és necessari, suprimix els àlies a un nivell acceptable. En esta aplicació, el filtre es denomina filtre antialiasing o antisolapamiento i el seu disseny es descriu seguidament.

Quàn el filtre antialiasing és un disseny IIR , es basa en la retroalimentació d'eixida a entrada, abans del segon pas. En el filtrat FIR, és fàcil calcular solament cada M-ésima eixida. El càlcul realisat per un filtre FIR de diezmado per a la n-ésima mostra d'eixida és un producte de punts, descrit per l'equació:

$y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],$

On la matriu $h[k]$és la resposta a l'impuls i $k$ és la seua llongitut. $x[nM-k]$ representa la seqüència d'entrada que està sent submuestreada. En un processador de senyals de propòsit general, despuix de calcular $y[n]$, la manera més fàcil de trobar $y[n+1]$ és alvançar l'índex d'inici en la matriu x [] per M i tornar a calcular el producte de punts. En el cas de M=2, pot dissenyar-se com a filtre de mija banda, a on casi la mitat dels coeficients són zero i no és necessari incloure'ls en els productes de punt.

Els coeficients de resposta a l'impuls presos a intervals de M formen una subsecuencia, i hi ha M subsecuencias (fases) multiplexadas juntes. El producte de punts és la suma dels productes de punts de cada subsecuencia en les mostres corresponents de la seqüència x []. Ademés, pel submuestreo en un factor de M, el fluix de mostres x[] involucrades en qualsevol dels M productes de punts mai està involucrat en els atres productes de punt. Per lo tant, els filtres FIR de baix orde M estan filtrant cada una de les M fases multiplexadas del fluix d'entrada, i les M eixides s'estan sumant. Este punt de vista oferix una implementació diferent que podria ser ventajosa en una arquitectura multiprocessador. En atres paraules, el fluix d'entrada es demultiplexa i s'envia a través d'un banc de M filtres les eixides dels quals se sumen. Quan s'implementa d'eixa manera, es diu filtre polifàsic.

Per a completar, ara mencionem que una implementació possible, pero poc provable, de cada fase és reemplaçar els coeficients de les atres fases en zeros en una còpia de la matriu h [], processar la seqüència original x [] a la velocitat d'entrada ( lo que significa molta multiplicació per zeros), i diezmar l'eixida per un factor de M. L'equivalència d'este método ineficiente i l'implementació descrita anteriorment es coneix com la primera identitat Noble.

Figura 1: Estos gràfics representen les distribucions espectrals d'una funció sobremuestreada i la mateixa funció muestreada a 1/3 de la taxa original. L'ample de banda, B, en este eixemple és lo suficientment chicotet com per a que el mostreig més llent no cause superposició (aliasing).

Filtre Anti-aliasing

Siga X (f) la transformada de Fourier de qualsevol funció, x (t), les mostres de la qual en algun interval, T, siguen iguals a la seqüència x[n]. Llavors, la transformada de Fourier de temps discret (DTFT) és una representació en série de Fourier d'una suma periòdica de X (f):

$\underset{\text{DTFT}}{\underbrace{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\stackrel{x[n]}{\overbrace{x(nT)}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi fnT}}}=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f-\frac{k}{T}).$

Quàn T té unitats de segons, $f$ és expressat en hercios (Hz). Reemplaçant T en MT en les fòrmules anteriors dona el DTFT de la seqüència diezmada, x[nM], segons l'equació:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n\cdot MT){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi fn(MT)}=\frac{1}{MT}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f-\frac{k}{MT}).$

La sumatoria periòdica ha segut reduïda en amplitut i periodicitat per un factor de M. Un eixemple d'estes distribucions està descrit en els dos curves del Figura 1.[Més baix-alfa 5][més baix-alfa 6] El aliasing o solapamiento ocorre quàn còpies adjacents de X(f) es solapan. El propòsit del filtre anti-aliasing el filtre és el d'assegurar que la periodicitat reduïda no genere solapamientos o àlies. La condició que assegura que les còpies de X(f) no es solapen unes a unes atres és que l'ample de banda $B$ complixca la desigualtat:

$B<\frac{0.5}{T}\cdot \frac{1}{M}$

ya que esta és la màxima freqüència de tall d'un filtre antialiasing ideal.

Submuestreo en un factor racional

Siga M/L el factor de diezmado, a on: M, L ∈ ℤ; M > L. Els passos 1 i 2 ara són els següents:

1. Aumentar (remuestrear) la seqüència per un factor de L. A açò se li crida mostreig ascendent o interpolació.
2. Diezmar en un factor de M.

El pas 1 requerix un filtre passe baix despuix d'incrementar la taxa de senyes, i el pas 2 requerix un atre abans del diezmado. Per tant, abdós operacions poden ser complides per un sol filtre en la més baixa de les dos freqüències de cort. Per al cas en que M > L, la freqüència més baixa de cort és $\frac{0.5}{M}$ cicles per mostra intermija.