Subgrup de Young

En matemàtiques, els subgrups de Young del grup simètric $S_n$ són subgrups especials que sorgixen en la combinatòria i la teoria de la representació. Quan $S_n$ es considera com el grup de permutació del conjunt $\{1,2,\dots ,n\}$, i si $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{\ell })$ és una partició sancera de $n$, després el subgrup Young $S_{\lambda }$ indexat per $\lambda$ es definix per $$S_{\lambda }=S_{\{1,2,\dots ,{\lambda }_1\}}\times S_{\{{\lambda }_1+1,{\lambda }_1+2,\dots ,{\lambda }_1+{\lambda }_2\}}\times \cdots \times S_{\{n-{\lambda }_{\ell }+1,n-{\lambda }_{\ell }+2,\dots ,n\}},$$ on $S_{\{a,b,\dots \}}$ denota el conjunt de permutació de $\{a,b,\dots \}$ i $\times$ denota el producte directe de grups. De manera abstracta, $S_{\lambda }$ és isomorfo al producte $S_{{\lambda }_1}\times S_{{\lambda }_2}\times \cdots \times S_{{\lambda }_{\ell }}$. Els subgrups jóvens reben el seu nom d'Alfred Young.

Quan $S_n$ és vist com un grup de reflexió, els seus subgrups de Young són precisament els seus subgrups parabòlics. Poden definir-se de manera equivalent com els subgrups generats per un subconjunt de les transposició adjacents. $(12),(23),\dots ,(n-1n)$.

En alguns casos, el nom Subgrup de Young s'utilisa de forma més general per al producte. $S_{B_1}\times \cdots \times S_{B_{\ell }}$, on $\{B_1,\dots ,B_{\ell }\}$ és qualsevol conjunt de particions $\{1,\dots ,n\}$ (és dir, una colecció de subconjunts disjuntos i no buits l'unió dels quals és $\{1,\dots ,n\}$). Esta família més general de subgrups està formada per tots els conjugats d'aquells baix la definició anterior. Estos subgrups també poden caracterisar-se com els subgrups de $S_n$ que es generen per mig d'un conjunt de transposició.

Llectura adicional

• {{{1}}} en Springer