Sistema invariante en el temps

Un sistema invariante en el temps (TIV) posseïx una funció de sistema depenent del temps que no és una funció directa del temps. Tals sistemes es consideren com una classe particular en el camp de l'anàlisis de sistemes. La funció del sistema depenent del temps està lligada a una funció de entrada depenent del temps. Si esta funció depén solament indirectament del domini del temps (a través de la funció d'entrada, per eixemple), llavors eixe és un sistema que es consideraria invariante en el temps. A l'inversa, qualsevol dependència directa del domini de temps de la funció del sistema podria considerar-se com un "sistema que varia en el temps".

Parlant matemàticament, la "invarianza en el temps" d'un sistema es definix com la següent propietat:

Donat un sistema en una funció d'eixida depenent del temps $y(t)$, i una funció d'entrada depenent del temps $x(t)$; el sistema es considerarà invariante en el temps quan si s'introduïx un retart de temps en l'entrada $x(t+\delta )$, equival directament a un retardo de temps en la funció d'eixida $y(t+\delta )$. Per eixemple, si el temps $t$ és el "temps transcorregut", llavors la "invariancia de temps" implica que la relació entre la funció d'entrada $x(t)$ i la funció d'eixida $y(t)$ és constant sobre el temps $t$: $y(t)=f(x(t),t)=f(x(t))$

En el llenguage del processament de senyals, esta propietat pot satisfer-se si la funció de transferència del sistema no és una funció directa del temps, llevat en lo expressat per l'entrada i l'eixida.

En el context d'un esquema del sistema, esta propietat també es pot establir de la següent manera:

Si un sistema és invariante en el temps, llavors el bloc del sistema commuta en un retart arbitrari.

Si un sistema invariante en el temps també és llineal, forma part de la teoria invariante en el temps llineal en aplicacions directes en espectroscòpia de RMN, sismologia, circuits, processament de senyals, teoria del control i atres àrees tècniques. Els sistemes no llineals invariantes en el temps carixen d'una teoria completa de referència. Els sistemes discrets invariantes en el temps es coneixen com sistemes invariantes de canvi. Els sistemes que carixen de la propietat invariante en el temps s'estudien com sistemes de variants en el temps.

Eixemple simple

Per a demostrar cóm determinar si un sistema és invariante en el temps, considere els dos sistemes:

• Sistema A: $y(t)=tx(t)$
• Sistema B: $y(t)=10x(t)$

Ya que el sistema A depén explícitament de t fòra de $x(t)$i $y(t)$, no és invariante en el temps. No obstant, el sistema B no depén explícitament de t, per lo que és invariante en el temps.

Eixemple formal

Ara es presenta una prova més formal de per qué els sistemes A i B anteriors diferixen. Per a realisar esta prova, s'utilisarà la segona definició.

Sistema A:

Començar en un retart de l'entrada $x_d(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=tx(t)$

$y_1(t)=t{x}_d(t)=tx(t+\delta )$

Ara retardar l'eixida per $\delta$

$y(t)=tx(t)$

$y_2(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

Clarament $y_1(t)\ne y_2(t)$, per lo tant, el sistema NO és invariante en el temps.

Sistema B:

Començar en un retart de l'entrada $x_d(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=10x(t)$

$y_1(t)=10x_d(t)=10x(t+\delta )$

Ara retardar l'eixida per $\delta$

$y(t)=10x(t)$

$y_2(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )$

Clarament $y_1(t)=y_2(t)$, per lo tant, el sistema és invariante en el temps.

Més generalment, la relació entre l'entrada i l'eixida és $y(t)=f(x(t),t)$, i la seua variació en el temps és.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$.

Per a sistemes invariantes en el temps, les propietats del sistema permaneixen constants en el temps, $\partial f/\partial t=0$. Aplicat als sistemes A i B anteriors: $f_A=tx(t)⟹\frac{\partial f_A}{\partial t}=x(t)\ne 0$en general, aixina que no és invariante en el temps $f_B=10x(t)⟹\frac{\partial f_B}{\partial t}=0$tan invariante en el temps.

Eixemple abstracte

Podem denotar el operador de tanda per ${𝕋}_r$a on $r$ és la cantitat en la que es deu desplaçar el conjunt d'índexs de un vector. Per eixemple, el sistema "alvanç per 1"

$x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)$

pot ser representat en esta notació abstracta per

${\tilde{x}}_1={𝕋}_1\tilde{x}$

a on $\tilde{x}$és una funció donada per

$\tilde{x}=x(t)\mathrm{\forall }t\in ℝ$

en el sistema produint l'eixida desplaçada

${\tilde{x}}_1=x(t+1)\mathrm{\forall }t\in ℝ$

Aixina que ${𝕋}_1$és un operador que alvança el vector d'entrada en 1.

Supongam que representem un sistema per un operador $ℍ$. Este sistema és invariante en el temps si commuta en l'operador de canvi, és dir,

${𝕋}_rℍ=ℍ{𝕋}_r\mathrm{\forall }r$

Si la nostra equació de sistema està donada per

$\tilde{y}=ℍ\tilde{x}$

llavors és invariante en el temps si podem aplicar l'operador del sistema $ℍ$en $\tilde{x}$seguit per l'operador de canvi ${𝕋}_r$, o podem aplicar l'operador de tanda ${𝕋}_r$seguit per l'operador del sistema $ℍ$, en els dos càlculs donant resultats equivalents.

L'aplicació de l'operador del sistema primer dona

${𝕋}_rℍ\tilde{x}={𝕋}_r\tilde{y}={\tilde{y}}_r$

L'aplicació de l'operador de canvi primer dona

$ℍ{𝕋}_r\tilde{x}=ℍ{\tilde{x}}_r$

Si el sistema és invariante en el temps, llavors

$ℍ{\tilde{x}}_r={\tilde{y}}_r$

Vore també

• Resposta d'impuls finito
• Seqüència de Sheffer
• Espai estatal (controls)
• Gràfic de fluix de senyal
• Teoria del sistema LTI