Simetria oblicua

Dos eixemples de figures en simetria oblicua

En geometria euclídea, una simetria oblicua (o reflexió oblicua) generalisa el concepte habitual de reflexió, al no requerir que la simetria es verifique per mig de llínees rectes perpendiculars al pla de simetria. Si dos punts presenten una simetria oblicua entre sí, seguiran conservant-la baix transformacions afins.

Propietats

Considere's un pla P en l'espai euclídeo tridimensional. L'image habitual d'un punt A en l'espai sobre el pla P és un atre punt B en l'espai, de modo que el punt mig del segment AB està en el pla, i AB és perpendicular al pla. En el cas d'una simetria oblicua, es requerix que en lloc d'perpendicular, el segment AB siga paralel a una llínea recta de referència donada.

Formalment, siga un pla P en l'espai tridimensional, i una llínea recta L en l'espai no paralela a P. Per a obtindre la simetria oblicua d'un punt A en l'espai sobre el pla P, es dibuixa a través de A una llínea paralela a L, i es definix la reflexió oblicua de A com el punt B en eixa recta a l'atre costat del pla de manera que el punt mig de AB estiga en P. Si la llínea de referència L és perpendicular al pla, s'obté la simetria especular habitual.

Per eixemple, considere's que el pla P és el pla xy, és dir, el pla donat per l'equació z = 0 en coordenades cartesianas. Siga la direcció de la llínea de referència L donada pel vector (a, b, c), en c ≠ 0 (és dir, L no és paralela a P). La reflexió oblicua d'un punt (x, i, z) serà llavors

$(x-\frac{2za}{c},y-\frac{2zb}{c},-z).$

El concepte de simetria oblicua es pot generalisar fàcilment a la reflexió oblicua sobre un hiperplano afí en Rⁿ en una recta que servix de nou com a referència, o inclús més generalment, una reflexió oblicua sobre un subespacio afí k-dimensional, en un subespacio afí n−k-dimensional que servix com a referència. Tornant a les tres dimensions, es pot definir la reflexió oblicua sobre una llínea recta, en un pla que servix com a referència.

Una simetria oblicua és una transformació afí i també és una involució, lo que significa que la simetria de la simetria d'un punt és el punt mateix.