Rotor (matemàtiques)

Un rotor és un element en àlgebra geomètrica (o més generalment, en àlgebra de Clifford) que definix la rotació d'una full o multivector general sobre l'orige de coordenades. Normalment estan basats a partir de considerar un número par de reflexions, que generen rotacions (vore també el teorema de Cartan-Dieudonné).

El terme va sorgir a partir dels treballs de William Kingdon Clifford, en els que va demostrar que l'àlgebra dels cuaterniones és solament un cas especial de la teoria de l'extensió d'Hermann Grassmann (Ausdehnungslehre). Hestenes va definir un rotor com qualsevol element $R$ d'un àlgebra geomètrica que es pot escriure com a producte d'un número par de vectores unitaris i satisfà que $\tilde{R}R=1$, a on $\tilde{R}$ és el invers de $R$, és dir, el producte dels mateixos vectores, pero en orde invers.

Generació utilisant reflexiones

Formulació general

Les reflexions segons un vector en àlgebra geomètrica poden representar-se com (menys) l'intercalació d'un multivector M entre un vector no nul v perpendicular al hiperplano de reflexió i l'invers v⁻¹ d'eixe vector:

$-vM{v}^{-1}$

i són de grau uniforme. Baixe una rotació generada pel rotor R, un multivector general M es transformarà a doble cara com

$RM{R}^{-1}.$

Formulació alternativa restringida

Per a un espai euclídeo, pot ser convenient considerar una formulació alternativa, i alguns autors definixen l'operació de reflexió com (menys) l'interconexió d'un multivector unitat (és dir, normalisat):

$-vMv,v^2=1,$

formant rotors que es normalisen automàticament:

$R\tilde{R}=\tilde{R}R=1.$

L'acció del rotor derivat s'expressa llavors com un producte emparedado en el revers:

$RM\tilde{R}$

Per a una reflexió per a la que el vector associat al quadrat genera un escalar negatiu, com pot ser el cas d'un espai pseudo-euclídeo, tal vector solament pot normalisar-se tenint en consideració el signe del seu quadrat, sent necessari dur un seguiment adicional del signe de l'aplicació del rotor. La formulació en térmens del producte emparedado en l'invers com s'ha vist anteriorment, no presenta este problema.

Rotacions de multivectores i espinores

No obstant, encara que els rotors multivectores també es transformen a doble cara, els rotors poden combinar-se i formar un grup, i aixina els rotors múltiples es componen d'una sola cara. La formulació alternativa anterior no és autonormalizante i motiva la definició del espinor en l'àlgebra geomètrica com un objecte que es transforma de manera unilateral, és dir, els espinores poden considerar-se com a rotors no normalisats en els que s'utilisa el revers en lloc de l'invers en el producte emparedado.

Representació homogénea de àlgebra

En les àlgebra de representació homogénea, com l'àlgebra geomètrica coformal, un rotor en l'espai de representació correspon a un moviment de rotació sobre un punt arbitrari, una translació o possiblement una atra transformació en l'espai base.

Vore també

• Rotacions en l'espai euclídeo 4-dimensional
• Grup de Lie
• Fòrmula de Euler
• Generador (matemàtiques)