Ret recíproca

Difracció per un cristal: cada punt de difracció correspon a un nodo de la ret recíproca de la ret cristalina

La ret recíproca és un concepte usat en física i matemàtiques per a denotar a la transformada de Fourier d'una ret en l'espai real. Els nodos o punts que conformen la ret recíproca estan constituïts per totes les combinacions llineals d'una base vectorial en el espai recíproc, també conegut en diverses aplicacions com a espai de Fourier, espai de moments o espai de fases. L'espai recíproc relaciona variables conjugades i és un concepte fonamental per a l'anàlisis de processos físics en els que es produïx una transferència de moment. En cristalografia, els punts de la ret recíproca de la ret de Bravais corresponen a les direccions en les que es pot observar difracció per un cristal.

Definició matemàtica

Siguen $𝐚$, $𝐛$ i $𝐜$ els vectores base d'una ret cristalina, tal que qualsevol punt de la ret es pot expressar com una combinació llineal d'estos vectores. Els vectores base de la corresponent ret recíproca ${𝐚}^{\ast }$, ${𝐛}^{\ast }$ ${𝐜}^{\ast }$ es definixen com:

De la definició es desprén que els vectores ${𝐚}^{*}$, ${𝐛}^{*}$ i ${𝐜}^{*}$ són perpendiculars als plans definits pels vectores $𝐛$ $𝐜$, $𝐚$ $𝐜$ i $𝐚$ $𝐛$ respectivament; és dir, es complixen les relacions:

Els vectores $𝐚$, $𝐛$, $𝐜$ i ${𝐚}^{\ast }$, ${𝐛}^{\ast }$ ${𝐜}^{\ast }$ són mútuament recíprocs, és dir, la ret recíproca d'una ret recíproca és la ret cristalina original.

Transformada Fourier d'una ret de Bravais i espai recíproc

En una ret de Bravais tots els punts són equivalents, és dir, les propietats físiques d'un punt qualsevol de l'espai $𝐫$ són idèntiques a les d'un atre punt relacionat per una translació $𝐫+𝐓$, a on $𝐓$ és un vector de la ret de Bravais. l'expansió de Fourier d'una funció periòdica $f(𝐫)$ és:

Com $f(𝐫)$ deu ser igual a $f(𝐫+𝐓)$, es complix que $𝐆\cdot 𝐓=2\pi n$, a on $n$ és un sancer, lo que implica que el vector $𝐆$ és el recíproc del vector $𝐓$. El conjunt de tots els vectores $𝐆$ constituïx l'espai recíproc.

L'expansió Fourier es pot generalisar fàcilment a funcions no periòdiques (periodo infinit) per mig de la transformada de Fourier:

Les variables $𝐫$ i el seu corresponent en l'espai recíproc $𝐆$, relacionades per una transformada de Fourier, es denominen variables conjugades. Són eixemples de variables conjugades la posició i el moment, i el temps i la freqüència. Gràcies a la relació recíproca és possible interpretar observacions experimentals directes de la distribució de moments en experiments de difracció i espectroscopía i relacionar-los en la distribució espacial d'àtoms o partícules que no es poden observar a simple vista.