Ràdio d'Einstein

El radi d'Einstein és el radi d'un anell d'Einstein, i és un àngul característic de les lents gravitacionals en general, ya que les distàncies típiques entre imàgens en les lents gravitacionals són de l'orde del radi d'Einstein.

Càlcul

Geometria de les lents gravitacionals

Per al càlcul del radi d'Einstein, assumirem que tota la massa M de la galàxia en lent L es concentra en el centre de la galàxia.

Per a una massa puntual, la deflexión es pot calcular i és una de les clàssiques proves de la relativitat general. Per a ànguls menuts α₁, la deflexión total per una massa puntual M ve donada (vore mètrica de Schwarzschild) per

${\alpha }_1=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{b_1}$

on

b₁ és el paràmetro d'impacte (la distància d'aproximació més propenca del raig de llum al centre de massa)

G és la constant gravitacional,

cc és la velocitat de la llum.

En observar que, per a ànguls menuts i en l'àngul expressat en radianes, el punt d'aproximació més propenc b₁ en un àngul θ₁ per a la lent L en una distància D_L està donat per b₁ = θ₁ D_L, podem tornar a expressar l'àngul de flexión α₁ com

${\alpha }_1({\theta }_1)=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_1}\frac{1}{D_{\mathrm{L}}}$ ..... (Equació 1)

Si establim θ_S com l'àngul en el que es voria la font sense la lent (que generalment no és observable), i θ₁ com l'àngul observat de l'image de la font sobre la lent, llavors es pot vore des de la geometria de lent (contant distàncies en el pla de la font) que la distància vertical compresa per l'àngul θ₁ a una distància D_S és la mateixa que la suma de les dos distàncies verticals θ_S D_S i α₁ D_LS. Açò dona l'equació de la lent

${\theta }_1{D}_{\mathrm{S}}={\theta }_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{S}}+{\alpha }_1{D}_{\mathrm{L}\mathrm{S}}$

que es pot reorganisar per a donar

${\alpha }_1({\theta }_1)=\frac{D_{\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}({\theta }_1-{\theta }_{\mathrm{S}})$ ..... (Ec. 2)

En establir (ec. 1) igual a (ec. 2) i reorganisar, obtenim

${\theta }_1-{\theta }_{\mathrm{S}}=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_1}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{L}}}$

Per a una font just darrere de la lent, θ_S = 0, l'equació de la lent per a una massa puntual dona un valor característic per a θ₁ que es diu àngul d'Einstein, denotat θ_I. Quan θ_I s'expressa en radianes, i la font de lent està lo suficientment llunt, el radi d'Einstein, denotat R_I, ve dau per

$R_E={\theta }_E{D}_{\mathrm{L}}$.

Posant θ_S = 0 i rebujant θ₁ dona

${\theta }_E={\left(\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{L}}{D}_{\mathrm{S}}}\right)}^{1/2}$

L'àngul d'Einstein per a una massa puntual proporciona una escala llineal convenient per a fer variables de lent adimensionales. En térmens de l'àngul d'Einstein, l'equació de la lent per a una massa puntual es convertix en

${\theta }_1={\theta }_{\mathrm{S}}+\frac{{\theta }_E^2}{{\theta }_1}$

La substitució de les constants dona

${\theta }_E={\left(\frac{M}{10^{11.09}{M}_{⨀}}\right)}^{1/2}{\left(\frac{D_{\mathrm{L}}{D}_{\mathrm{S}}/D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{\mathrm{G}\mathrm{p}\mathrm{c}}\right)}^{-1/2}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}$

En l'última forma, la massa s'expressa en masses solars (M_☉) i les distàncies en Gigaparsec (Gpc). El radi d'Einstein és més prominent per a una lent típicament a mig camí entre la font i l'observador.

Per a un cúmul dens en massa M_c ≈ 10 × 1015 M_☉ a una distància d'1 Gigaparsec (1 Gpc), este radi podria ser tan gran com 100 segons d'arc (cridat macrolente). Per a una busca d'event de microlente gravitacional (en masses d'orde 1 M_☉) a distàncies galàctiques (digam D 3 kpc), el radi d'Einstein típic seria de l'orde de milisegons d'arc. En conseqüència, és impossible observar imàgens separades en events de microlente en les tècniques actuals.

Aixina mateix, per al raig de llum inferior que aplega a l'observador des de baix de la lent, tenim

${\theta }_2{D}_{\mathrm{S}}=-{\theta }_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{S}}+{\alpha }_2{D}_{\mathrm{L}\mathrm{S}}$

i

${\theta }_2+{\theta }_{\mathrm{S}}=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_2}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{L}}}$

i per lo tant

${\theta }_2=-{\theta }_{\mathrm{S}}+\frac{{\theta }_E^2}{{\theta }_2}$

L'argument anterior es pot ampliar per a lents que tenen una massa distribuïda, en lloc d'una massa puntual, utilisant una expressió diferent per a l'àngul de curvatura α, les posicions θ_I(θ_S) de les imàgens es poden calcular. Per a chicotetes deflexiones, este mapage és un a un i consistix en distorsió de les posicions observades que són invertibles. A açò se li crida lent dèbil. Per a grans deflexiones, es poden tindre vàries imàgens i un mapage no invertible: açò es diu lent forta. Tinga en conte que per a que una massa distribuïda done com resultat un anell d'Einstein, deu ser axialmente simètrica.