Quadrats de números triangulars

Archiu:Nicomachus theorem 3D.svg

Un quadrat la llongitut lateral del qual és un número triangular, pot dividir-se en quadrats i semicuadrados les cantitats dels quals permeten formar gavetes. De Gulley (2010).

En teoria de números, la suma dels primers n gavetes és el quadrat de el n_simo número triangular. És dir,

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={(1+2+3+\cdots +n)}^2$

La mateixa equació pot escriure's de forma més compacta usant la notació matemàtica del sumatorio:

$\sum _{k=1}^n{k}^3=(\sum _{k=1}^{n}k{)}^2$

Esta identitat és a voltes cridada Teorema de Nicómaco.

Història

Molts matemàtics antics varen estudiar i varen deduir demostracions de la teorema de Nicómaco.Stroeker (1995) afirma que "cada estudiant de la teoria de números segurament deu haver-se maravillado davant este fet miraculós".Pengelley (2002) troba referències a l'identitat no solament en les obres de Nicómaco de Gerasa en lo que ara és Jordània en el I, sino també en les d'Aryabhata en l'Índia en el V i en les d'Al-Karaŷí al voltant de 1000 en Iran.Bressoud (2004) menciona varis treballs matemàtics primerencs adicionals sobre esta fòrmula, obra d'Alcabitius (X, Aràbia); Gersónides (cap a 1300, França); i Nilakantha Somayaji (cap a 1500 en l'Índia). Bressoud reproduïx l'elegant prova visual de Nilakantha.

Valors numèrics; interpretacions geomètrica i provabilística

La seqüència dels números triangulars quadrats és:

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... Plantilla:OEIS.

Estos números poden ser vists com números figurats, una generalisació hiperpiramidal en quatre dimensions dels números triangularss i dels número piramidal quadrats.

Com observa Stein (1971), estos números també conten el número de rectànguls en costats horisontals i verticals formats en una cuadrícula de n &claves; n punts en cada costat. Per eixemple, els punts d'una cuadrícula de 4 &claves; 4 (o lo que és lo mateix, un quadrat format per tres quadrats més menuts en cada costat) poden formar 36 rectànguls diferents. El número de quadrats sobre una cuadrícula quadrada és deduït de manera similar pels número piramidal quadrats.

L'identitat també admet una interpretació provabilística natural com seguix. Sean X, I, Z, W quatre número entero independentment i uniformemente elegits a l'encert entre 1 i n. Llavors, la provabilitat de que W siga el major dels quatre números és igual a la provabilitat de que tant I siga a lo manco tan gran com X i W siga a lo manco tan gran com Z, és dir, P({max(X,I,Z) ≤ W}) = P({X ≤ I} ∩ {Z ≤ W}). De fet, estes provabilitats són respectivament els costats esquerre i dret de l'identitat Nicómano, normalisat per a fer provabilitats dividint abdós costats per n⁴.

Vore també

• Demostració sense paraules
• Suma de séries matemàtiques

Referències

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .