Problemes i teoremes en anàlisis

Problemes i teoremes d'anàlisis (en alemà: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis)) és un llibre de problemes d'anàlisis matemàtic de dos volums escrit per George Pólya i Gábor Szegő. Varen ser publicats en 1925, els dos volums es titulen (I) Série. Càlcul Integral. Teoria de funcions. ; i (II) Teoria de Funcions. Zeros. Polinomis. Determinants. Teoria de números. Geometria.

Els volums són molt valorats per la calitat dels seus problemes i el seu método d'organisació, no per tema sino per método de solució, en el foc posat en cultivar les habilitats de resolució de problemes dels estudiants. Cada volum conté problemes al principi i solucions (breus) al final. Com han dit dos autors, "existix un consens general entre els matemàtics de que Pólya-Szegő, en dos volums, és el llibre de problemes millor escrit i més útil en l'història de les matemàtiques".

Trasfondo

Szegő (esquerra) i Polya (dreta) en Berlín, 1925, entregant el manuscrit original de Problemes i teoremes a Springer.

Va ser Pólya qui primer va tindre l'idea d'un llibre complet de problemes d'anàlisis, pero es va donar conte de que no seria capaç de completar-ho solament. Va decidir escriure-ho en Szegő, que havia segut amic de Pólya des de 1913, quan abdós es varen conéixer en Budapest (en eixe moment, Szegő tenia solament 17 anys, mentres que Pólya era un investigador postdoctoral de 25). La carrera primerenca de Szegő va estar entrellaçada en la de Pólya; els seus dos primers artículs tractaven sobre problemes plantejats per Pólya. No obstant, Pólya creïa que les seues àrees d'especialisació eren suficientment diferents com per a que la colaboració resultara fructífera. Pólya i Szegő varen firmar el contracte en Springer-Verlag per al llibre en 1923 i es va publicar en 1925. Pólya va escriure més vesprada sobre el periodo en el que varen escriure el llibre:

Va ser una época maravellosa, treballem en entusiasme i concentració. Teníem antecedents similars. Abdós estàvem influïts, com tots els demés matemàtics hongaresos jóvens d'aquella época, per Leopold Fejér. Abdós érem llectors de la mateixa revista hongaresa de matemàtiques, molt ben dirigida, per a estudiants de secundària, que feya recalcament en la resolució de problemes. Nos interessaven els mateixos tipos de preguntes, els mateixos temes, pero un de nosatres sabia més sobre un tema i l'atre més sobre un atre. Va ser una bona colaboració. El llibre Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis, frut de la nostra cooperació, és el meu millor treball i també el millor treball de Gábor Szegő..

Escriure problemes i teoremes va ser una experiència intensa per a abdós jóvens matemàtics. Pólya era professor en Zuric i Szegő era Privatdozent en Berlín, per lo que abdós tenien càrregues de treball independents. L'esposa de Pólya temia que sofrira una crisis nerviosa. Abdós també estaven amenaçats per l'aument de l'antisemitisme en Europa Central (Pólya i Szegő eren judeus hongaresos). Les dificultats financeres, sumades al pessimisme sobre el seu nomenament en una universitat alemana, varen convéncer a Pólya a mudar-se a Anglaterra en 1925. Szegő va tardar més temps en fugir i no va abandonar Alemània fins a 1934, quan Pólya i Harald Bohr ho varen convéncer per a que acceptara un lloc en l'Universitat de Washington. Per a llavors, els nazis ya havien començat a porgar als professors judeus de les universitats alemanes. Szegő i Pólya (que varen colaborar poc despuix del llibre de problemes) es varen retrobar en Estats Units en la década de 1950, en el departament de matemàtiques de l'Universitat de Stanford.

Contingut

Encara que el títul del llibre es referix únicament a l'anàlisis, en ell s'aborden una àmplia gama de problemes. Comença en la combinatòria i ràpidament es ramifica des de l'anàlisis matemàtic a la teoria de números, la geometria, l'àlgebra llineal i inclús una miqueta de física . Els temes específics tractats donen testimoni dels interessos especials de Pólya ( la regla dels signes de Descartes, el teorema d'enumeració de Pólya ), Szegö (polinomis, polinomis trigonométricos i el seu propi treball en polinomis ortogonals ) i, a voltes, abdós (els zeros dels polinomis i les funcions analítiques, l'anàlisis complex en general). Molts dels problemes del llibre no són nous i les seues solucions inclouen referències a les seues fonts originals. La secció sobre geometria (IX) conté molts problemes aportats per Loewner (en geometria diferencial ) i Hirsch (en geometria algebraica ).

El llibre era únic en el seu moment per la seua organisació, menys per tema i més per método de solució, organisat de manera de desenrollar les habilitats de resolució de problemes dels estudiants. El prefacio del llibre conté algunes observacions sobre la resolució de problemes generals i l'heurística matemàtica que anticipen els treballs posteriors de Pólya sobre eixe tema ( Matemàtiques i raonament plausible, Cóm resoldre-ho ). La parella va realisar sessions pràctiques en les que es varen plantejar els problemes als estudiants universitaris i es varen treballar en classe (alguns dels problemes representatius varen ser resolts pel professor i els problemes més difícils es varen deixar com a tasca). Varen revisar parts del llibre a un ritme d'aproximadament un capítul per semestre.