Problemes de Landau

Els Problemes de Landau són quatre coneguts problemes bàsics sobre els número primo, que Edmund Landau va catalogar com "inabarcables en l'estat actual de la ciència" durant el Quint Congrés Internacional de Matemàtics de l'any 1912.

Els quatre problemes són els següents:

La conjectura de Goldbach, que establix que tots els número par majors que 2 es poden expressar com la suma de dos número primo.
La conjectura dels número primo bessons, que establix que hi ha infinits número primo p tals que (p+2) també és un número primo.
La conjectura de Legendre, que establix que sempre existix un número primo entre dos quadrats perfectes.
La conjectura de que hi ha infinits número primo p tals que (p - 1) és un quadrat perfecte. Dit d'una atra forma, hi ha infinits número primo de la forma $n^{2} + 1$ .

Fins a la data, cap d'estos problemes ha segut resolt.

Progresse

Conjectura de Goldbach

El teorema de Vinográdov demostra la conjectura dèbil de Goldbach per als n suficientment grans. Deshouillers, Effinger, et Riele i Zinoviev varen demostrar la conjectura dèbil de forma condicional baix l'hipòtesis generalisada de Riemann.^[1] Se sap que la conjectura dèbil es complix per a tot n fòra de l'interval $(1 0^{20}, e^{3100}) .$ ^[1]^[2] Finalment, a principis de 2013, esta conjectura va ser rigorosament demostrada pel matemàtic peruà Harald Helfgott, després de 271 anys des de la seua formulació.

El teorema de Chen demostra que para tots els n suficientment grans, $2 n = p + q$ a on p és primer i q és primer o semiprimo. Montgomery i Vaughan varen demostrar que el conjunt excepcional dels número par que no es poden expressar com sumixca de dos cosins tenia densitat zero.^[3]

Conjectura dels número primo bessons

Goldston, Pintz i Iıldırım varen demostrar que la diferència entre dos número primo consecutius pot ser molt menor que la diferència mija entre dos cosins consecutius:

lim inf \frac{p_{n + 1} - p_{n}}{\sqrt{\log p_{n}} (\log \log p_{n})^{2}} < \infty .

^[4]

Anteriorment, varen demostrar condicionalmente una versió més dèbil de la conjectura dels número primo bessons en la que existixen infinits número primo p tals que $π (p + 20) - π (p) \geq 1$ , baix la conjectura de Elliott-Halberstam.^[5] $π (x)$ és la funció enumerativa de número primo. La conjectura dels primers bessons substituïx el 20 de l'expressió per 2.

Chen va demostrar que existixen infinits primers p (que posteriorment es varen donar a conéixer com número primo de Chen) tals que p+2 és primer o semiprimo.

Conjectura de Legendre

Basta comprovar que, per a cada número primo p, la diferència en el següent número primo és menor que $2 \sqrt{p}$ . Una taula de diferències maximales entre cosins consecutius mostra que la conjectura es verifica fins a 10¹⁸.^[6] Un contraeixemple pròxim a 10¹⁸ requeriria una diferència entre un primer i el següent cinquanta millons de voltes major que la diferència mija.

Un resultat d'Ingham mostra que existix un número primo entre $n^{3}$ i $(n + 1)^{3}$ per a cada n lo suficientment gran.^[7]

Cosins de la forma $n^{2} + 1$

El teorema de Friedlander-Iwaniec mostra que hi ha infinits número primo de la forma $x^{2} + y^{4}$ . Iwaniec també va senyalar^[8] que existixen infinits números de la forma $n^{2} + 1$ en com a molt dos factors primers.

Referències

Landau's Problems en MathWorld.

↑ ^1,0 ^1,1 Deshouillers, Effinger, Et Riele i Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3, pp. 99-104 (1997).
↑ M. C. Liu i T. Z. Wang, "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture", Acta Arithmetica 105 (2002), 133-175
↑ H.L. Montgomery, Vaughan, R. C., "The exceptional set in Goldbach's problem". Acta Arithmetica 27 (1975), pp. 353–370.
↑ Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz i Cem Yalçın Iıldırım, Primes in tuples. II.
↑
Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz i Cem Yalçın Iıldırım, Small Gaps between Primes Exist
- Archivat el 27 de març de 2009 archivat en Wayback Machine.. Proceedings of the Japan Academy, Séries A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.
↑ Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps
↑ A. E. Ingham, "On the difference between consecutive primes", Quarterly Journal of Mathematics Oxford 8 (1937), pp. 255–266.
↑ H. Iwaniec, "Almost-primes represented by quadratic polynomials", Inventiones mathematicae 47 (1978), pp. 178–188.

Plantilla:Conjectura sobre número primo

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Problemas de Landau» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[DETZ97-1] 1,0 ^1,1 Deshouillers, Effinger, Et Riele i Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3, pp. 99-104 (1997).

[2] M. C. Liu i T. Z. Wang, "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture", Acta Arithmetica 105 (2002), 133-175

[3] H.L. Montgomery, Vaughan, R. C., "The exceptional set in Goldbach's problem". Acta Arithmetica 27 (1975), pp. 353–370.

[4] Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz i Cem Yalçın Iıldırım, Primes in tuples. II.

[5] Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz i Cem Yalçın Iıldırım, Small Gaps between Primes Exist
Archivat el 27 de març de 2009 archivat en Wayback Machine.. Proceedings of the Japan Academy, Séries A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.

[6] Archivat el 27 de març de 2009 archivat en Wayback Machine.. Proceedings of the Japan Academy, Séries A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.

[6] Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps

[7] A. E. Ingham, "On the difference between consecutive primes", Quarterly Journal of Mathematics Oxford 8 (1937), pp. 255–266.

[8] H. Iwaniec, "Almost-primes represented by quadratic polynomials", Inventiones mathematicae 47 (1978), pp. 178–188.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Progresse

Conjectura de Goldbach

Conjectura dels número primo bessons

Conjectura de Legendre

Cosins de la forma n2+1

Referències

Referències

Cosins de la forma $n^{2} + 1$