Problema elastoplástico

El problema elastoplástico és el problema físic-matemàtic de trobar els desplaçaments i les tensions en un sòlit deformable elasto-plàstic, partint de la forma original del sòlit, de les forces actuantes sobre el mateix, els desplaçaments imposts d'alguns punts de la superfície del sòlit i les equacions constitutives del material del que està fet el sòlit.

El problema anterior ha segut extensivamente analisat en el cas llineal, en el que la tensió depén linealmente de la deformació elàstica com de les variables internes de plasticidad. Per al cas no llineal no existixen resultats generals. Deu tindre's present que encara en este cas "llineal" la deformació total, que és la suma de la deformació elàstica més la deformació plàstica, no depén linealmente de la tensió (per tant ací la "linealidad" es referix només a la dependència en la part elàstica de la deformació).

El problema elasto-plàstic llineal

El problema elasto-plàstic llineal compartix en el problema elàstic llineal en que pot ser formulat variacionalmente i en eixe cas queda garantisada l'existència i unicitat del problema, gràcies a una generalisació del teorema de Lax-Milgram. No obstant, una diferència important és que el cas en plasticidad involucra desigualtats que donen conte del malbarat plàstic d'energia, que dona lloc a deformacions irreversibles.

Les equacions bàsiques del problema elasto-plàstic són les següents:

A on $\widetilde{𝜺}$ és part plàstica de la deformació. La primera és una equació vectorial en tres equacions independents que representa l'equació d'equilibri que relaciona les forces aplicades en les tensions mecàniques. La segona d'elles és l'equació constitutiva que relaciona el tensor tensió en el tensor deformació i la relació entre les variables internes que governen en enduriment i la variable termodinámicamente conjugada, sent $𝐇$ el tensor que mòduls d'enduriment. L'última representa la relació entre els desplaçaments i la deformació total. A estes equacions deu sumar-se-li la llei de fluix que dona el malbarat plàstic:

A on $K_p=domD$ és el conjunt admissible de direccions en l'espai de deformacions i variables internes, pròpies de cada material plàstic. La funció de malbarat requerix considerar el conjunt de tensions generalisades admissibles $K$ (que és tancat i convexo) que la seua frontera topològica $\partial K$ és precisament la superfície de fluencia, aixina es definix la regió elàstica com l'interior de la regió de tensions generalisades admissibles $intK$, la funció de malbarat ve donada per:

Ademés per coveniencia es considera usualment com a condició inicial per al desplaçament la següent concidión:

Condicions de regularitat

Quan tracten d'establir-se condicions d'existència i unicitat del problema elastoplástico anterior eixe necessari fer algunes hipòtesis de regularitat sobre les funcions i paràmetros que definixen el problema. Entre elles que el tensor de constants elàstiques $𝐂$ tinga components que satisfacen tant restriccions de simetria com de acotación:

Ademés de que siga puntualment estable, és dir, que existixca una constant $C_0>0$ tal que:

La relació anterior deu complir-se c.t.p. del domini ocupat pel sòlit elastoplástico. Ademés el tensor que caracterisa l'enduriment $𝐇$, que fixada una base vindrà donada per una matriu en ${ℝ}^m$, deu ser simètric, acotat i estable en el sentit de que:

Existència i unicitat

L'existència i unicitat de la solució està garantisada pel teorema de Lax-Milgram generalisat al cas de desigualtats vore més alvance la formulació variacional del problema.

Note's que el problema garantisa l'unicitat de solució per a l'història temporal completa $𝐰(t)=(𝐮(t),\widetilde{𝜺}(t),𝝃(t))$ si s'especifica la variació temporal de les forces exteriors i les condicions de contorn adequades. No obstant, una diferència important en el problema elàstic és que si només s'especifiquen les forces en un instant donat, els desplaçaments, deformació plàstica i variables internes no estan unívocamente determinades a menos que s'haja especificat la variació de les forces en el temps. Per eixa raó els problemes plàstics en forces totalment generals només poden ser abordats com a problemes dinàmics, a diferència de la majoria de problemes de l'elasticitat d'interés pràctic, que freqüentment són estàtics.

Formulació variacional

Artícul principal → Formulació dèbil d'una equació diferencial.

En esta secció es reformula el problema elastoplástico com un problema variacional sobre un cert espai de Hilbert. Dit espai està format per les possibles solucions del problema elastoplástico i sobre ell es plantegen desigualdes variacionales deduïdes a partir de les equacions diferencials del problema elastoplástico en la seua forma clàssica. Una volta reformulat d'eixa manera el problema es pot usar un resultat del càlcul variacional referent a les desigualtats variacions elíptiques de segona espècie, que garantisa l'existència i unicitat d'una solució dèbil al problema elastoplástico en la seua forma dèbil.

Espais funcionals

Per a la formulació variacional deu triar-se un espai funcional adequat sobre el que buscar les solucions dèbils del problema. Per al desplaçament es considera un espai de Sóbolev $V$, mentres que per a l'espai de deformacions plàstiques $Q$ es considera un producte cartesiano d'espais de $L^2$ en les propietats adequades de simetria i similarmente per a l'espai de variables internes $M$:

I a partir d'ells pot construir-se un espai de Hilbert $Z=V\times Q\times M$ en el producte escalar intern dau per:

A on:

$𝐰=(𝐮,\widetilde{𝜺},𝝃)\in Z=V\times Q\times M$

$𝐳=(𝐯,𝜹,𝜼)\in Z=V\times Q\times M$

Formes bilineales i funcionals

Una volta definits els espais es poden definir la següent forma bilineal a partir de les equacions diferencials que definixen el problema elastoplástico en la seua forma clàssica:

El funcional llineal associat a les forces externes es definix com:

El funcional no llineal associat al malbarat plàstic és:

El problema com a desigualtat variacional

Una volta definits la forma bilineal i els dos funcionals anteriors, el problema elastoplástico pot ser reescrit en forma variacional per mig d'eixes formes definides sobre els espais funcionals prèviament tractats. Això es conseguix integrant l'equació (2) i usant la segona i tercera equacions de (1), de les que s'obté que:

Considerant ara el producte de la primera equació de (1) per $𝐯-\dot{𝐮}$ i integrant sobre el tot el sòlit es té:

Sumant (3) i (4) s'obté la següent desigualtat variacional:

Per a esta desigualtat una generalisació del teorema de Lax-Milgram garantisa l'existència i unicitat de la solució.