Porisma

Un porisma (també es pot escriure com porismo, del grec "πόρισμα" -porismá- en el significat de expedient, conclusió o corolari) és una proposició matemàtica o corolari. En particular, el terme "porisma" s'ha utilisat per a referir-se a un resultat directe d'una prova, análogamente a cóm es fa en un corolari en referència a un resultat directe d'un teorema. En l'us modern, un "porisma" és una relació que es manté per a un ranc infinit de valors, pero solament si s'assumix una determinada condició, com per eixemple en el cas de la Cadena de Steiner.

El terme prové de tres llibres d'Euclides contenint porismas, que s'han perdut. Deu tindre's en conte que una proposició pot no haver segut provada, per lo que un porisma pot no ser una teorema, o aplegat el cas, inclús pot no ser cert.

Història

Orígens

El tractat que ha donat lloc a este concepte són els Porismas d'Euclides, l'autor dels Elements. Tot lo que se sap d'este tractat perdut es deu a la Colecció de Pappus d'Aleixandria, que ho menciona junt en atres tractats geomètrics i dona una série de lemma necessaris per a comprendre-ho. Pappus afirma:

Els porismas de totes les classes no són ni teoremes ni problemes, sino que ocupen una posició intermija entre els dos, de modo que els seus enunciats poden expressar-se com a teoremes o problemes, i en conseqüència alguns geómetras pensen que són realment teoremes, i uns atres que són problemes, guiats únicament per la forma de l'enunciació. Pero està clar a partir de les definicions que els antics geómetras varen entendre millor la diferència entre les tres classes. Els geómetras més antics consideraven una teorema com dirigit a provar lo que es propon, un problema com dirigit a construir lo que es propon, i finalment un porisma com dirigit a trobar lo que es propon (εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου).

Pappus continua dient que esta última definició va ser canviada per certs geómetras posteriors, els qui varen definir el porisma en el terreny d'una característica accidental com "τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος" (a leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos), lo que no aplega a un locus-teorema per una (o en la seua) hipòtesis. Proclo senyala que la paraula "porisma" es va usar en dos sentits. Un sentit és el de "corolari", com a resultat no buscat, per aixina dir-ho, pero vist a partir d'una teorema. En l'atre sentit. el "porisma", no agrega res a la definició de "els geómetras més antics", llevat per a dir que la troballa del centre d'un círcul i la troballa de la major mida comuna són porismas.

Des dels sigles XVII fins a el XIX, este tema sembla haver fascinat molt als matemàtics, i molts geómetras han intentat restaurar els porismas perduts. Albert Girard afirma en el seu Traité de trigonometrie (1626) que espera publicar una restauració. Casi al mateix temps, Pierre de Fermat va escriure un breu treball baix el títul Porismatum euclidaeorum renovata doctrina et sub forma isagoges recentioribus geometeis exhibita (vore uvres de Fermat , i., París, 1891); pero dos dels cinc eixemples de porismas que dona, per lo manco, no entren dins de les classes indicades per Pappus.

Anàlisis posterior

Robert Simson va ser el primer en tirar llum real sobre el tema. Primer va tindre èxit en explicar les úniques tres proposicions que Pappus indica en total exactitut. Esta explicació va ser publicada en les "Transaccions filosòfiques" en 1723. Més vesprada va investigar el tema dels porismas en general en una obra titulada De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor, i publicat despuix de la seua mort en un volum titulat Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776).

El tractat de Simson, "De porismatibus", comença en definicions de teorema, problema, senya, porisma i locus. Respectant el porisma, Simson comenta que la definició de Pappus és massa general i, per lo tant, la substituïx per uns conceptes més precisos. Un locus (diu Simson) és una espècie de porisma. Després seguix una traducció llatina de la nota de Pappus sobre els porismas i les proposicions que formen la major part del tractat. Estos són els trentahuit lemes de Pappus relacionats en els porismas, dèu casos de la proposició relatius a quatre llínees rectes, vintinou porismas, dos problemes d'ilustració i alguns lemes preliminars.

Les memòries de John Playfair ("Trans. Roy, Soc. Edin.", 1794, volum iii), una espècie de continuació del tractat de Simson, tenien com a objecte especial l'investigació de l'orige provable dels porismas, és dir, dels passos que varen dur als antics geómetras al seu descobriment. Playfair va comentar que l'investigació cuidadosa de tots els possibles casos particulars d'una proposició mostraria que (1) baix certes condicions un problema es torna impossible; (2) baix certes atres condicions, indeterminat o capaç d'un número infinit de solucions. Estos casos podien enunciar-se per separat, eren intermijos entre teoremes i problemes, i es dien "porismas". En conseqüència, Playfair va definir un porísma aixina: "Una proposició que afirma la possibilitat de trobar condicions tals que tornen un determinat problema indeterminat o capaç d'innumerables solucions".

Encara que esta definició de porisma sembla ser la més favorida en Anglaterra, l'opinió de Simson ha segut generalment acceptada en l'estranger, i va contar en el respal de Michel Chasles. No obstant, en el "Journal de mathematiques pures et appliquées" de Liouville (volum xx., juliol de 1855), P. Breton va publicar "Recherches nouvelles sur els porismes d'Euclide", en la que va donar una nova traducció del text de Pappus, i va tractar de basar en això una visió de la naturalea d'un porísma que s'ajustava més a les definicions en Pappus. Açò va ser seguit en la mateixa revista i en "La Science" per una controvèrsia entre Breton i A. J. H. Vincent, que va qüestionar l'interpretació donada pel primer del text de Pappus, i es va declarar a favor de l'idea de Schooten, presentada en les seues "Mathematicae exercitationes" (1657), en les que dona el nom de "porisma" a una secció. Segons Frans van Schooten, si les diverses relacions entre llínees rectes en una figura s'escriuen en forma d'equacions o proporcions, llavors la combinació d'estes equacions en totes les formes possibles, i de les noves equacions aixina derivades d'elles conduïx al descobriment d'innumerables noves propietats de la figura, i ací tenim "porismas".

Les discussions, no obstant, entre Breton i Vincent, a les que C. Housel també es va unir, no varen dur alvance el treball de restauració dels Porismas de Euclides, que es va deixar per a Chasles. La seua obra (Els Trois livres de porismes d'Euclide, París, 1860) fa un us complet de tot el material trobat en Pappus. Pero es pot dubtar de que siga una reproducció exitosa del treball real de Euclides. Per lo tant, en vista de la relació secundària en la que els lemes de Pappus es destaquen per les obres a les que es referixen, sembla increible que els primers sèt de trentahuit lemes siguen realment equivalents (com ho fa Chasles) als primers sèt Porimas de Euclides. Novament, Chasles sembla haver estat equivocat en fer que els dèu casos del Porisma de quatre llínees comencen el llibre, en lloc del porisma d'intersecció enunciat per complet per Pappus, al que el "lema del primer Porisma" es relaciona de manera inteligible, sent un cas particular.

Una hipòtesis interessant sobre els porismas va ser presentada per H. G. Zeuthen (Die Lehre von donen Kegelschnitten im Altertum, 1886, cap. Viii). Observant, per eixemple, que el porisma d'intersecció seguix sent cert si els dos punts fixos són punts sobre una cònica, i les llínees rectes travessades es creuen sobre la cònica en lloc de sobre una llínea recta fixa, Zeuthen conjectura que els Porismas varen ser un producte d'una geometria proyectiva completament desenrollada de còniques. És un fet que el Lema 31 (encara que no fa menció d'una cònica) correspon exactament al método d'Apolonio per a determinar els focs d'una cònica central (Còniques, iii. 4547 en 42). Els tres porismas establits per Diofanto d'Aleixandria en el seu Arithmetica són proposicions en la teoria dels números, puediéndose tots enunciar-se en la forma "podem trobar números que satisfacen tals i tals condicions"; per lo tant, són lo suficientment anàlecs al porisma geomètric com es definix en Pappus i Proclo.

Vore també

• Porisma de Poncelet
• Cadena de Steiner

Bibliografia

• Plantilla:EB1911
• Alexander Jones (1986) Llibre 7 de la Colecció , partix 1: introducció, text, traducció ISBN 0-387-96257-3, partix 2: comentari, índex, figures ISBN 3-540-96257-3, Springer Science+Business Mija.
• J. L. Heiberg's Litterargeschichtliche Studien über Euklid (Leipzig, 1882) S'inclou un valiós capítul sobre poros (des d'un punt de vista philological).
• August Richter. Porismen nach Simson bearbeitet (Elbing, 1837)
• Moritz Cantor, "Über die Porismen dones Euklid i deren Divinatoren", en Zeitsch d'Oskar Schlömilch. F. Mates. tu Phy. (1857), i Literaturzeitung (1861), p. 3 seq.
• Th. Leidenfrost, Die Porismen dones Euklid ( Programm der Realschule zu Weimar , 1863)
• John J. Milne (1911) = fals Un tractat elemental sobre geometria de relació creuada en notes històriques, pàgina 115, Cambridge University Press.
• Fr. Buch-binder, Euclids Porismen und Data ( Programm der kgl. Landesschule Pforta , 1866).