Parell Wilf–Zeilberger

En matemàtiques, específicament combinatòria, un parell Wilf–Zeilberger, o parell WZ, és un parell de funcions que poden ser utilisades per a comprovar identidates combinatòries. Els parells WZ es coneixen per Herbert S. Wilf i Doron Zeilberger, i són un instrument en l'evaluació de moltes sumes implicant coeficients binomiales, factorials, i en general qualsevol série hipergeométrica. Una funció contrapartida WZ pot ser utilisada per a trobar una suma equivalent més senzilla. Encara que trobar els parells WZ manualment és impracticable en la majoria dels casos, l'algoritme de Gosper proporciona un método segur per a trobar una funció comtrapartida WZ i pot ser implementat en un programa de manipulació simbòlic.

Definició

Dos funcions F i G formen un parell WZ si i només si es complixen les següents condicions:

• $F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)$

• $\underset{M\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }G(n,M)=0$

Juntes, estes condicions asseguren:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[F(n+1,k)-F(n,k)]=0$

Degut a que G és telescòpica:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[F(n+1,k)-F(n,k)]& =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=-M}^M[F(n+1,k)-F(n,k)]\\ & =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=-M}^M[G(n,k+1)-G(n,k)]\\ & =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }[G(n,M+1)-G(n,-M)]=0\end{array}$

Per tant:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(n+1,k)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(n,k)$

Açò és:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(n,k)=const.$

La constant no depén de n. El seu valor pot ser trobat substituint n = n₀, per a un n₀ particular.

Si F i G formen un parell WZ, llavors  satisfan la relació:

$G(n,k)=R(n,k)F(n,k-1)$

On $R(n,k)$ és una funció racional de n i k i es diu el certificat de prova WZ.

Referències

• Marko Petkovsek; Herbert Wilf and Doron Zeilberger, {{{nom2}}} (1996). A=B, AK Peters. ISBN 1-56881-063-6.; (1996). Un=B. AK Peters.   
• Tefera, Akalu (2010), ".