Paradoxa dels bessons

Archiu:Twinparadox overview.svg

Paradoxa dels bessons

Archiu:Twin paradox Minkowski diagram-es.svg

Diagrama espai-temps que mostra al bessó alluntar-se (primer tram llínea negra) i retornar a la Terra. En este diagrama la posició de la Terra en cada instant es mou a lo llarc de l'eix vertical. La distància entre l'última llínea blava i la primera roja representa no envellit el temps guanyat pel viager.

La paradoxa dels bessons (o paradoxa dels rellonges) és un experiment mental que analisa la distinta percepció del temps entre dos observadors en diferents estats de moviment.

Esta paradoxa va ser proposta per Albert Einstein en desenrollar lo que hui es coneix com la teoria de la relativitat especial. Dita teoria postula que la mida del temps no és absoluta, i que, daus dos observadors, el temps medit entre dos events per estos observadors, en general, no coincidix, sino que la diferent mida de temps depén de l'estat de moviment relatiu entre ells. Aixina, en la teoria de la relativitat, les mides de temps i espai són relatives, i no absolutes, ya que depenen de l'estat de moviment de l'observador. En eixe context és en el que es planteja la paradoxa.

Formulació de la paradoxa

En la formulació més habitual de la paradoxa, deguda a Paul Langevin, es pren com a protagonistes a dos bessons (d'ahí el nom); el primer d'ells fa un llarc viage a una estrela en una nau espacial a velocitats propenques a la velocitat de la llum; l'atre bessó es queda en la Terra. Al regrés, el bessó viager és més jove que el bessó terrestre.

D'acort en la teoria especial de la relativitat, vist des de la perspectiva del sistema de referència de la Terra, el bessó que es queda envellirà més que el bessó que viaja per l'espai a gran velocitat (més alvance es prova açò per mig de càlcul) perque el rellonge del bessó de la nau espacial va més llent que el del que permaneix en la Terra i, per tant, el de la Terra envellix més ràpit que el seu germà.

Pero la paradoxa sorgix quan es fa la següent observació: vist des de la perspectiva del bessó que va dins de la nau, el que s'està alluntant, en realitat, és el bessó en la Terra (d'acort en l'Invariancia galileana) i, per tant, caldria esperar que, d'acort en els càlculs d'este bessó, el seu germà en la Terra seria qui tindria que envellir menys per moure's respecte d'ell a velocitats propenques a la de la llum. Açò és, el bessó de la nau és qui tindria que envellir més ràpit.

La paradoxa quedaria dilucidada si es poguera precisar quí envellix més ràpit realment i qué hi ha d'erròneu en la suposició de que, d'acort en els càlculs del bessó de la nau, és el bessó terrestre qui envellix menys.

Solució de la paradoxa segons la teoria de la relativitat especial

A Einstein li va costar aclarir esta paradoxa uns quants anys, fins que va formular la relativitat general i va demostrar que, certament, és el bessó de la Terra qui envellix més ràpit.

No obstant, encara que Einstein va resoldre la paradoxa en el context de la relativitat general, la paradoxa pot resoldre's dins dels llímits de la teoria de la relativitat especial, com a mostra este artícul.

Per a dilucidar l'aparent paradoxa és necessari realisar els càlculs des del punt de vista del bessó que permaneix en la Terra i des del punt de vista del bessó viager, i vore que les estimacions de temps transcorregut coincidixen examinades des d'abdós punts de vista.

El càlcul des del punt de vista del bessó terrestre és rutinari i molt senzill. El càlcul des del punt de vista del bessó viager és més complex perque requerix realisar càlculs en un sistema no inercial. A continuació, es presenten les prediccions de la teoria aplicades a abdós bessons i es prova que els resultats coincidixen, demostrant que l'aparent paradoxa no és tal.

Càlcul segons el bessó terrestre

Archiu:Twin-trip.gif

Un possible esquema del viage d'anada i regrés del bessó viager, en cinc fases: alluntament accelerat, alluntament a velocitat constant, frenat i canvi de sentit, acostament a velocitat constant, frenat fins a retrobar-se en el bessó terrestre.

Les condicions de l'experiment requerixen que el bessó viager s'allunte de la Terra i més vesprada retorne, la qual cosa necessàriament implica tindre en consideració acceleració positives i negatives. Simplificadament, supondrem que l'experiment pot portar-se a terme en 5 etapes:

1. En l'instant de temps t = 0 el bessó viager partix en «(pseudo)acceleració» (mida pel bessó de la Terra) ω = F/m constant que ho allunta d'ella. Es mou acceleradament entre els instants medits pel bessó terrestre t = 0 i t = T₁, aplegant a la velocitat V.
2. Quan el bessó viager aplega a una velocitat V apaga els motors de la seua nau, i seguix alluntant-se de la Terra, ara a velocitat constant. Durant esta etapa compresa entre els instants t = T₁ i t = T₁+T₂ el bessó viager s'allunta de la Terra a velocitat V.
3. Despuix d'un temps viajant a velocitat uniforme el bessó viager posa en marcha els motors de la seua nau en sentit contrari i desaccelera en la mateixa acceleració en la que va accelerar, aixina transcorregut un temps de deceleración T₁ (medit pel bessó en la Terra) la velocitat serà nula, i transcorregut un atre interval T₁ la velocitat serà -V (a on el signe negatiu indica que la velocitat és en sentit contrari al que va utilisar en el seu viage d'anada).
4. Una volta alcançada la velocitat -V que fa que el bessó viager s'aproxime a la Terra de tornada en velocitat uniforme, el bessó viager permaneix viajant aproximant-se a la Terra durant un interval de temps T₂.
5. Finalment, per a poder-se retrobar en el seu bessó en la Terra, el bessó viager desaccelera, fins a aplegar a la Terra en repòs, això requerix una acceleració igual a les anteriors aplicada durant un interval de temps T₁.

Per construcció la duració del viage medit pel bessó situat en la Terra, és la suma dels temps de cada etapa, ya que hem definit eixes etapes a partir de llectures del bessó en la Terra, per a este bessó la duració del viage ha segut:

$T_{viaje}=T_1+T_2+2T_1+T_2+T_1=4T_1+2T_2$

Ara podem comparar qué temps estima el bessó de la Terra que haurà medit el seu bessó viager. Per a això procedim per etapes. En la primera etapa el temps que el bessó de la Terra estima ha transcorregut per al bessó viager, usant la relació entre la (pseudo)acceleració i la velocitat en un moviment accelerat relativiste, ve dau per:

${\overline{T}}_1=\underset{0}{\overset{T_1}{\int }}\sqrt{1-\frac{v^2(t)}{c^2}}dt=\underset{0}{\overset{T_1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{w^2{t}^2}{c^2}}}dt=\frac{c}{w}\ln [\frac{w{T}_1}{c}+\sqrt{1+\frac{w^2{T}_1^2}{c^2}}]$

Entre els instants temps t = T₁ i t = T₁+T₂ (medits pel bessó terrestre) la nau espacial es mou en velocitat uniforme V per tant:

${\overline{T}}_2=\underset{T_1}{\overset{T_1+T_2}{\int }}\sqrt{1-\frac{v^2(t)}{c^2}}dt=\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\underset{T_1}{\overset{T_1+T_2}{\int }}dt=\frac{T_2}{\sqrt{1+\frac{w^2{T}_1^2}{c^2}}}$

Juntant els resultats anteriors, en el moment de la trobada d'acort en els càlculs del bessó terrestre, ell i el seu bessó viager hauran notat temps diferents de viage donats per:

És senzill comprovar que per a qualssevol valors de w, T₁ i T₂, el segon temps és sempre menor que el primer: $T_{viaje}-{\overline{T}}_{viaje}>0$, i per tant, segons el bessó terrestre ell mateixa envellirà més que el bessó viager.

Càlcul segons el bessó viager

Els càlculs en el sistema de referència no inercial del bessó viager són més complicats, encara que conduïxen exactament al mateix resultat anterior. Tot això sense necessitat d'eixir-se de l'àmbit de la teoria de la relativitat especial. Per a este càlcul introduïm les coordenades $(\overline{t},\overline{x})$ associades a l'observador no inercial la relació del qual en les coordenades usades pel bessó terrestre és:

(1) $\{\begin{array}{c}\overline{x}=x-\frac{c^2}{w}[\sqrt{1+\frac{w^2{t}^2}{c^2}}-1]\\ \overline{t}=t,\overline{y}=y,\overline{z}=z\end{array}$

Durant la primera etapa del recorregut, el bessó viager està somés a acceleració w. El tensor mètric, fent el canvi de coordenades a les coordenades associades al seu sistema de referència, és:

(2) $g=-\frac{c^2}{1+\frac{w^2{\overline{t}}^2}{c^2}}d\overline{t}\otimes d\overline{t}-\frac{2w\overline{t}}{\sqrt{1+\frac{w^2{\overline{t}}^2}{c^2}}}d\overline{t}\otimes d\overline{x}+d\overline{x}\otimes d\overline{x}+d\overline{y}\otimes d\overline{y}+d\overline{z}\otimes d\overline{z}$

En este sistema de referència el bessó viager està en repòs i el punt x = 0 es mou segons una geodèsica:

(3) $\frac{d{\overline{u}}^i}{ds}+{\overline{\Gamma }}_{ml}^i{\overline{u}}^m{\overline{u}}^l=0$

A partir de les components del tensor mètric dau per (2) l'únic símbol de Christoffel que no s'anula és ${\overline{\Gamma }}_{00}^1$ i les equacions de moviment del bessó terrestre vist pel bessó viager resulten ser:

Integrant les equacions de moviment del bessó terrestre observat pel bessó viager ve dau per:

(5) $\overline{x}(\overline{t})=\frac{c^2}{w}[1-\sqrt{1+\frac{w^2{\overline{t}}^2}{c^2}}]$

En eixes expressions el temps propi, estimat pel bessó viager, per a la duració medida per ell mateix i pel seu bessó terrestre resulten ser idèntiques a les calculades pel bessó terrestre:

En la segona etapa del viage, el bessó viager passa de nou a ser un observador inercial que s'allunta en velocitat uniforme del bessó terrestre. No obstant, apareix ací un problema matemàtic en l'elecció de la mètrica, i és que els requeriments físics impliquen que la mètrica d'un observador a lo llarc de la seua trayectòria varia de manera contínua sense bots. Això implica que devem triar coordenades adequades per a la segona etapa del viage, que garantisen la continuïtat de la mètrica percebuda pel bessó viager, per a que els nostres càlculs tinguen sentit. Una possible elecció de la mètrica en eixe cas ve donada per:

(7) $g=-c^2\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}d\overline{t}\otimes d\overline{t}-2Vd\overline{t}\otimes d\overline{x}+d\overline{x}\otimes d\overline{x}+d\overline{y}\otimes d\overline{y}+d\overline{z}\otimes d\overline{z}$

Finalment per a calcular la duració de la segona etapa del viage per a abdós bessons, pero fent els càlculs segons el sistema de referència del bessó viager, tenim que seleccionar una forma de la mètrica:

(7b) ${\overline{T}}_2=\int d\overline{\tau }=\underset{T_1}{\overset{T_1+T_2}{\int }}\sqrt{g_{00}}d\overline{t}=T_2\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}=\frac{T_2}{\sqrt{1+\frac{w^2{T}_1^2}{c^2}}}$

Estos resultats tornen a coincidir en els càlculs que es varen fer des del sistema inercial del bessó terrestre. Com totes les cantitats tornen a ser idèntiques es complix de nou que $T_{viaje}-{\overline{T}}_{viaje}>0$.

Açò aclarix finalment que:

1. Tant segons els càlculs i prediccions del sistema inercial del bessó terrestre com els càlculs segons el sistema no inercial del bessó viager, abdós conclouran que el bessó terrestre és qui envellirà més, ya que el temps medit durant el transcurs del viage és major per a ell.
2. La paradoxa pot ser resolta dins de la pròpia teoria de la relativitat especial, encara que es requerix l'us de sistemes inerciales i tindre precaucions especials per a assegurar la continuïtat de la mètrica.

Vore també

• Dilatació del temps,
• Dilatació gravitacional del temps,

Bibliografia

• Science Vol.177.

166–170. (En espanyol).

261–288. (En espanyol).

81–85. (En espanyol).

• Annalen der Physik.17

891–921. (En espanyol).

• Annalen der Physik.

769-822. (En espanyol).

• Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse.

844-847. (En espanyol).