Pandeo

Archiu:Hyatt Regency collapse support.PNG

Pandeo

Archiu:Buckled column.png

Deformació de pandeo produïda per la compressió d'una barra.

El pandeo és un fenomen d'inestabilitat elàstica que pot donar-se en elements comprimits esvelts, i, que es manifesta per l'aparició de desplaçaments importants transversal a la direcció principal de compressió.

En ingenieria estructural el fenomen apareix principalment en pilars i columnes, i es traduïx en l'aparició d'una flexión adicional en el pilar quan es troba somés a l'acció d'esforços axials de certa importància.

Introducció

L'aparició de deflexión per pandeo llimita severament la resistència en compressió d'un pilar o qualsevol tipo de peça esvelta. Finalment, a partir de cert valor de la càrrega axial de compressió, denominada càrrega crítica de pandeo, pot produir-se una situació d'inestabilitat elàstica i llavors fàcilment la deformació aumentarà produint tensions adicionals que superaran la tensió de trencament, provocant la ruïna del element estructural. Ademés del pandeo flexional ordinari existix el pandeo torsional o inestabilitat elàstica provocat per un moment torsor excessiu.

Existixen diferents maneres o modos de fallo per pandeo. Per a un element estructural freqüentment cal verificar varis d'ells i garantisar que les càrregues estan llunt de les càrregues crítiques associades a cada modo o manera de pandear. Els modos típics són:

• Pandeo flexional. Modo de pandeo en el qual un element en compressió es flecta lateralment sense gir ni canvis en la seua secció travessera.
• Pandeo torsional. Modo de pandeo en el qual un element en compressió gira al voltant del seu centre de cort.
• Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el qual un element en compressió es flecta i gira simultàneament sense canvis en la seua secció travessera.
• Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo d'un element a flexión que involucra deflexión normal al pla de flexión i, de manera simultànea, gir al voltant del centre de tall

Pandeo flexional

Els pilarés i barres comprimides de celosías poden presentar diversos modos de fallo en funció de la seua esbeltez mecànica:

• Els pilars molt esvelts solen fallar per pandeo elàstic i són sensibles tant al pandeo local del propi pilar com al pandeo global de l'estructura completa.
• En els pilars de esbeltez media les imperfeccions constructives com les heterogeneïtat són particularment importants podent-se presentar pandeo anelástico.
• Els pilars de molt baixa esbeltez fallen per excés de compressió, ans que els efectes del pandeo resulten importants.

Pandeo local

Archiu:Buckledmodel.JPG

Model dels distints tipos de pandeo de Euler. Com es pot vore, segons les condicions externes del voltó, la deformació deguda al pandeo serà distinta.

El pandeo local és el que apareix en peces o elements aïllats o que estructuralment poden considerar-se aïllats. En este cas la magnitut de la càrrega crítica ve donada segons les condicions de l'unió, vinculació o subjecció en els extrems. Per a una peça que pot considerar-se biarticulada en els seus extrems la càrrega crítica de Euler ve donada per:

(1) $F_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}={\pi }^2\frac{E{I}_{\min }}{L^2}={\pi }^2\frac{EA}{{\lambda }^2}$

Sent: F_crit, la càrrega crítica; I, Mòdul de Young del material de que està feta la barra; I_min, moment d'inèrcia mínim de la secció travessera de la barra; L, llongitut de la barra i λ l'esbeltez mecànica de la peça. Quan les condicions de subjecció dels extrems són diferents la càrrega crítica de Euler ve donada per una equació del tipo:

(2) $F_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}={\pi }^2\frac{E{I}_{\min }}{(\alpha L{)}^2}\{\begin{array}{cc}\alpha =0,5& \text{empotrado-empotrado}\\ \alpha \approx 0,70& \text{articulado-empotrado}\\ \alpha =1& \text{articulado-articulado}\\ \alpha =2& \text{libre-empotrado}\end{array}$

Al producte $\alpha L$ se li crida 'llongitut de pandeo'.

Pandeo global

En una estructura complexa formada per barres i atres elements enllaçats poden aparéixer modos de deformació en els que els desplaçaments no siguen proporcionals a les càrregues i l'estructura pot pandear globalment sense que cap de les barres o elements estructurals alcance la seua pròpia càrrega de pandeo. Per este factor, la càrrega crítica global de cert tipo d'estructures (per eixemple en entramats de cúpules monocapa) és molt menor que la càrrega crítica (local) de cada u dels seus elements.

El tipo d'estructura més simple que presenta 'pandeo global' per a càrrega crítica diferent de la dels seus elements està format per dos barres articulades entre sí i a la fonamentació, que es mostra en la figura.

Archiu:Gl-buckling.png

Les equacions que governen el comportament de l'estructura són:

• Equació d'equilibri:

$P=2N\sin (\theta -\Delta \theta )$

• Relació elàstica entre acurtada i esforç axial:

$N=EA\frac{\Delta L}{L}$

• Relació geomètrica de les configuracions no-deformada i deformada:

$L\cos \theta =(L-\Delta L)\cos (\theta -\Delta \theta )$

A on: N, esforç axial de cada una de les barres; ΔL, acurtada sofrida per les barres per a adoptar la configuració deformada; Δθ = θ-θ', és la diferència d'ànguls mostrada en la figura; I, mòdul de Young del material de les barres; A, àrea travessera de cada una de les barres; L, llongitut inicial de cada una de les dos barres.

Substituyendo la segona de les equacions en la primera, rebujant ΔL de la tercera i substituyendo el seu valor també el seu valor en la primera s'aplega a:

El valor de Δθ para el que s'alcança el màxim és precisament la càrrega crítica global. Les càrregues de pandeo global i local vénen donades per:

Cada una estes càrregues presenta modos de fallo diferents en l'estructura. D'entre els dos possibles modos de fallo per pandeo ocorrerà el que presente un àngul d'aparició major a on estos ànguls vénen daus per:

Pla de pandeo

El 'pla de pandeo' es referix al pla que contindrà l'inici de la deformada d'una peça somesa a compressió dominant. El pla de pandeo conté l'eix baricéntrico del voltó i sobre ell la deflexión per pandeo és màxima. Per a una peça somesa solament a compressió sense moments apreciables adicionals, el pla de pandeo coincidirà en el pla perpendicular siga paralela a l'eix de menor inèrcia de la secció.

Teoria del forcall

Matemàticament el pandeo local està associat a una forcall fitora, és dir, quan es plantegen les equacions exactes no llineals que descriuen la forma d'una peça prismàtica, incloent la càrrega axial i els paràmetros relacionats en les imperfeccions, els possibles comportaments qualitatius estan separats uns d'uns atres per un forcall fitora. Això du que en estos casos la càrrega real que pot soportar una barra venja donada per la llei 2/3 de Koiter:

A on:

$P_c$, càrrega crítica corregida per les imperfeccions.

$C(d)$, és una constant que depén del patró d'imperfecció donat per $d\in {ℝ}^p$.

$\epsilon$, és un paràmetro escalar que quantifica el grau d'imperfecció per a un patró d'imperfecció $d\in {ℝ}^p$ dau.

Si les imperfeccions tenen naturalea estadística i vénen donades per una distribució normal multivariante llavors la càrrega crítica té una distribució donada per:

Esta distribució de provabilitat permet ajustar les curves reals de pandeo observades, ya que en condicions normals una barra recta de secció constant té una resistència inferior a la predita per la teoria de Euler per l'efecte de les imperfeccions.

Vore també

• Esbeltez mecànica
• Prisma mecànic, resistència de materials
• Més sobre Pandeo en la Construpedia

Bibliografia

• K. Ikeda & K. Murota (2002). Imperfect Bifurcation in Structures and Materials, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95409-0.
• Luis Ortiz Berrocal (2007). Resistència de materials, Madrit: Ed. McGraw-Hill. ISBN 978-84-481-5633-6.